中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案解析

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案解析

一、直角三角形的边角关系

1．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截. 【解析】 【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；

（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】

（1）在△ABC中，?ACB?180???B??BAC?180??37??53??90?. 在RtVABC中，sinB?3AC?，所以AC?AB?sin37?25??15（海里）. AB5答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.

（2）过点C作CM?AB，垂足为M，由题意易知，D、C、M在一条直线上. 在RtVACM中，CM?AC?sin?CAM?15?4?12，53AM?AC?cos?CAM?15??9.

5MD在Rt△ADM中，tan?DAM?，

AM所以MD?AM?tan76??36. 所以AD?AM2?MD2?92?362?917，CD?MD?MC?24.

设缉私艇的速度为v海里/小时，则有经检验，v?617是原方程的解.

24917，解得v?617. ?16v答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

2．已知：△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H． （1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；

（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；

（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=

，BN=

，tan∠ABC=

，求BF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24. 【解析】

试题分析：（1）易证OH为△ABC的中位线，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC =∠BCD，可证∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，易证∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.在Rt△BNQ中，根据tan∠ABC=

，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI

的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED=

即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．

试题解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵点O是AB的中点，∴AC=2OH；（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，

∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴2∠AND=180°，∴∠AND=90°，∵tan∠ABC=

，∴

，∴

，

∴

∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，

，∵∠BNQ=∠QHD=90°，

∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=

，GN=NQ=

，

，∴

，∴IC=

，∴由勾股定理可求得：

∵∠ACI=90°，tan∠AIC=tan∠ABC=AI=25，

设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=BH=BQ+QH=∵OB2=BH2+OH2，∴

，

，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，

，解得：，当QH=

时，∴QD=∴ND=时，∴QD=∴ND=NQ+QD=∵tan∠OED=∴EG=

， ，∴MN=

，MD=15,∵

，∴QH=

不符合题意，舍去，当QH=

，ED=，∴

，∴GD=GN+ND=，

，∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．

,∴EG=ED﹣GD=

，

RG，∴RG=

考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形.

3．在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.

（1）若点P在线CD上，如图1，

①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）

【答案】（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）【解析】

试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，

AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．

（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17° ∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则

.由

代入HR，CR解方程即

或

可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴

试题解析： （1）①

法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH

．

证：连接CH，得：△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP

BD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．

法二：四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．

（2）法一：轴对称作法

考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°

∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则

.

由得：，∴．即PD=

法二：四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴

．

考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆

4．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．