(a0?0，n?1)为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数a1,a2,......,an，使
f(x)?a0(x??1)(x??2)......(x??n)
n证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式 （其中
a0xn?a1xn?1?......?an?1x?an?0 （1）
a0,a1,......,an?K,a0?0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x???K带
入（1）式后使它变成等式，则称?为方程（1）在K中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K上的n(?1)次代数方程在复数域C内必有一个根。
命题 n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
f(x)?a0?a1x?......?anxng(x)?b0?b1x?......?bmxm(an?0)(bm?0)， ，
?,?,......,?l,?l?1，使得
如果存在整整数l,l?m,l?n,及l?1个不同的复数12f(?i)?g(?i)(i?1,2,......,l?1)，
则f(x)?g(x)。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设
（可能有重复），则
f(x)?a0xn?a1xn?1??an，其中
ai?K,a0?0?,?,。设f(x)?0的复根为12(x??n)??1?2,?nn1f(x)??(x??i)?(x??1)(x??2)a0i?1?xn?(?1??2?所以
??n)xn?1??n.
a1?(?1)1(?1??2????n)a0；
a2?(?1)2??i1?i2a00?i1?i2?n；
???????? an?(?1)n?1?2??n.a0我们记
?0(?1,?2,?,?n)?1；
?1(?1,?2,?,?n)??1??2????n；
????????
?r(?1,?2,?,?n)?i1i20?i1?i2???ir?n?????ir；
（
?1,?2,,?n称为
?1,?2,????????
?n(?1,?2,?,?n)??1?2??n ,?n的初等对称多项式）。于是有
定理2.5 (韦达定理) 设复根为
f(x)?a0xn?a1xn?1??an，其中
ai?K,a0?0)?0的。设f(x?1,?2,,?n。则
a1?(?1)1?1(?1,?2,?,?n)a0；
命题 给定R上n次方程
a2?(?1)2?2(?1,?2,?,?n)a0；
???????? an?(?1)n?n(?1,?2,?,?n).a0 ，
a0xn?a1xn?1?...?.a.n.?1x?an?0a0?0，
如果??a?bi是方程的一个根，则共轭复数??a?bi也是方程的根。
证明 由已知，
a0?n?a1?n?1?......?an?1??an?0两边取复共轭，又由于
高等代数试题
.
a0,a1,......,an?R，所以
a0?n?a1?n?1?......?an?1??an?0.
k?1k?(?)??L(V),??V?(?)?(?)?0，证明：?，?设，并且 ，，…，都不等于零，但?(?)，…，?k?1(?)线性无关
答案：按线性无关的定义证明 2、令
Fn[x] 表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，
?:f(x)?f'(x)，求?关于以下两个基的矩阵：
2n（1）1，x，x，…，x，
(x?c)2(x?c)n2!，…，n!，c?F （2）1，x?c，
?010?0??010?0??002?0??001?0???????????????????????000?n000?1?????000?0?? （2）??000?0?? 答：（1）?43、F表示数域F上四元列空间 取
?1?15?1??11?23??A???3?181???413?97?? 对于 ??F，令 ?(?)?A? 求 dim(ker(?))，dim(Im(?))
解：R(A)?2，取F的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB的列向量恰是这个基
4的象。又
B?0，所以 R(AB)＝R（A）＝2 所以 dim(Im(?))＝2
dim(ker(?))?解空间的秩?4?R(A)?2
??,?,??4、设F上三维向量空间的线性变换?关于基123的矩阵是
?1?2?1?3?2??3?15?115??20?158??2?3?1?4?2??3????8?76??，求?关于基 ?3??1?2?2?2?3 的矩阵
?1??231????1B?TAT??2?T??342?????3??112?? ??
5、令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件ker(?)?????(?)??V?V?ker(?)?Im(?)证明：（1）
，证明：（1）
???????(?)??V? （2）
，则
?(?)??(???(?))??(?)??2(?)??(?)??(?)?0，??Ker(?)
反之，??Ker(?)，?(?)?0，于是
ker(?)?????(?)??V??????(?)?????(?)??V?
???V,?????(?)??(?)，即V?ker(?)?Im(?)
设
??ker(?)?Im(?) 由
??Im(?)，有
??V，使得
??ker(?)，所以 ?(?)??,?2(?)??(?),因?2＝?，所以?（?）＝?（?） 又
?（?）＝0，于是?（?）＝0，即 ?＝0 所以 ker(?)?Im(?)＝0
60??4?A???3?50?????3?61?? ，求A10 6、设
1，?3＝?2 解：特征值 ?1＝?2＝TTT?＝（0，0，1）?＝（?2，1，0）?＝（?1，1，1） 特征向量 1 2，3
?1A10?P?10P?1 P＝（?1，?2，?3） 则 PAP??，
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