∴R＝
23
， …………10分
23
，又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线．
∴FM＝FN＝R＝
122222
设PF与MN交于E，则FE＝FM－ME＝R－1＝．
3即FE＝
3
，又PE＝3． ……………………………12 343
，∴AP的最大值为PF＋R＝23．
∴PF＝
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)
x2y2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，
ab焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q． （1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程； 1→→→→（3）若F1P＝λQF1，且λ∈[，2]，求OP·OQ的最大值．
2＝2，??2c22222
（1）解：由题意得?a 解得c＝1，a＝2，所以b＝a－c＝1．
＝2，??c 所
以
椭
圆
的
方
程
为
x2
2
＋
y2
＝
1． …………………………………………2分 （2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0．
y＋1＝0，?x＝－3，??x＋?x＝0，42
?由?x 解得或所以点Q的坐标为(－，－2?13＋y＝1，?y＝1，?2y＝－，?
4
?
3
1
)． ……………………4分 3
解法一：因为
kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角
形． ……………………6分
1152
因为QF2的中点为(－，－)，QF2＝，
663
- 9 -
所以圆的方程为(x＋
16
)
2
＋(y＋
16
)
2
＝
25
． ……………………8分 18
解法二：设过P，Q，F2三点的圆为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0， ＋E＋F＝0，??1?1＋D＋F＝0，则? 解得?1741
?9－3D－3E＋F＝0，
?
131
E＝， 34F＝－．3
2
2
D＝，?
所以圆的方程为
x2
＋
y2
＋
13
x＋
13
y－
43
＝
0． …………………………………………8分
→→（3）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P＝(x1＋1，y1)，QF1＝(－1－x2，－y2)．
?x1＋1＝λ(－1－x2)，?x1＝－1－λ－λx2，→→因为F1P＝λQF1，所以?即?
?y1＝－λy2，?y1＝－λy2，
所以
?????(－1－λ－λx2)2
＋λy22＝1，2
x222
＋y2＝1，2
2
解得x2＝
1－3λ． …………………………………………12分 2λλ2→→所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy2＝－x2－(1＋λ)x2－λ 22
＝－1
λ2
(
1－3λ21－3λ75
)－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋
2λ2λ48
λ) ． …………………………………………14分
1111
因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2λ·＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等
2λλλ号．
所
以
→OP·
→OQ≤
1
2
，即
→OP·
→OQ最大值为
1
． …………………………………………16分 2
解法二：当PQ斜率不存在时，
2 2
在＋y＝1中，令x＝－1得y＝±．
22
x2
- 10 -
所以
uuuruuur221OP?OQ??1?(?1)??(?)?222，此时
??1??,2? …………………………2
?2? 当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k(x＋1)，
?1?k(x＋1)，??y＝22222
由?x得(1＋2k)x＋4kx＋2k－2＝0， 2
＋y＝1．??2
?4k22k2?2，x1x2= 韦达定理 x1?x2=………………………………………4
1?2k21?2k2设P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，
uuuruuur 则OP?OQ?x1x2?y1y2?x1x2?k2(x1?1)(x2?1)
?(k2?1)x1x2?k2(x1?x2)?k222k2?22?4k2?(k?1)?k?k1?2k21?2k2k2?2???????????????? 6分 1?2k2151???。222(1?2k)22uuuruuur1?1? OP?OQ的最大值为，此时??1??,2? ………………………………8
2?2?19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝
ax＋bxe，a，b∈R，且a＞0． x（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x－1)e－f(x)．
① 当a＝1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．
1x解：（1）当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)e，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
xbax所
x以f ′(x)＝
(x＋1)(2x－1)
x2
e． …………………………………………2分
- 11 -
1
令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表
2
(
－
－1
∞，－1)
(－1，0) 1
) 2－
－ (0，
x
1 2
1(，2＋∞)
f ′
(x)
?
0
极
0
极小
?
f
↗
(x)
↘
大值
－1
↘
值
，f (x)的极小值是f (
↗ 1
)＝2
由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e4e．……………………………………4分
（2）① 因为g (x)＝(ax－a)e－f (x)＝(ax－－2a)e， 当a＝1时，g (x)＝(x－－2)e． 因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立， 所
以
xbxxbxxb≤x2
－2x－
xe
x在x∈（0，＋∞）上恒成
立． …………………………………………8分
(x－1)(2e＋1)
记h(x)＝x－2x－x（x＞0），则h′(x)＝． xee
2
xx当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数； 当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min＝h(1)＝－1－e． 所
1
－1
以b的最大值为－1－e
－
． …………………………………………10分
解法二：因为g (x)＝(ax－a)e－f (x)＝(ax－－2a)e， 当a＝1时，g (x)＝(x－－2)e．
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立， 所
以
xbxxbxxg(2)＝－
b2
e
2
＞0，因此b＜
0． …………………………………………6分
2xbxb(x－1)(x－b)exg′(x)＝(1＋2)e＋(x－－2)e＝．
xxx2
- 12 -
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