南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学附加题 2014.03 注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．．．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．
卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与
DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F． A E （1）求证：四边形ACBE为平行四边形； （2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.
C B F
A．选修4—1：几何证明选讲
解：（1）因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB．
D 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．
第21题A图 所以∠ABC＝∠BAE．
所以AE∥BC．因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．…………………………………4分
22
（2）因为AE与圆相切于点A，所以AE＝EB·(EB＋BD)，即6＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4．
根据（1）有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6．
ACCF4x88
设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，即CF＝．………………………
BDBF56－x33
10分
B．选修4—2：矩阵与变换
?1 a??2?
已知矩阵A＝??的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝??．
?－1 b??1?
（1）求矩阵A；
?x??a??y??b?
?2＋a＝4，?1 a??2??2?
解：（1）由题意，得?? ??＝2??，即?－2＋b＝2，
??－1 b??1??1?
（2）若A??＝??，求x，y的值．
解得a＝2，b＝4．
所以A＝?1 2???． ………………………………………5分 ?－1 4?
?x??a??1 2??x??2?
（2）解法一：A??＝??，即?? ??＝??，
?y??b??－1 4??y??4?
- 17 -
所以?分
解得?解
?x＋2y＝2，?－x＋4y＝4，
………………………………………8
?x＝0，?y＝1．
………………………………………10分
：
因
为
法二A＝
?1 2????－1 4?
，所以A－1
＝
1 －??2
?33?． ………………………………………7分 ? 1 1??66?
21 －??3??2??0??x??a??x??a??3
因为A??＝??，所以??＝A??＝ ??＝??．
?y??b??y??b??11??4??1?
? 6 6?
－1
所以?x＝0，? ………………………………………10?y＝1．分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求曲线＝2cosθ关于直线θ＝(
4
π∈R)对称的曲线的极坐标方程．
解法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系， 则曲线
＝2cosθ的直角坐标方程为 (x－1)＋y＝1，且圆心C为(1，
2
2
0)．………………………4分
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，
4
因为圆心C(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)， 所以圆心
πC关于y＝x的对称曲线为
x2＋(y－1)2＝
1． ………………………………………8分
所以曲线
＝2cosθ关于直线θ＝
π4
(R)对称的曲线的极坐标方程为＝
2sinθ．…………………10分
解法二：设曲线＝2cosθ上任意一点为(′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(，
4
πθ)，
则
??r′＝r，
π ……………………………………?
θ′＝2kπ＋－θ．?2?
…6分
- 18 -
π
将(′，θ′)代入＝2cosθ，得＝2cos(－θ)，即＝2sinθ．
2所以曲线
＝2cosθ关于直线θ＝
π4
(∈R)对称的曲线的极坐标方程为＝
2sinθ．…………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
11
已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．
64证
：
因
为
|x＋
5y|
＝
|3(x＋
y)－2(x－
y)|． ………………………………………5分
由绝对值不等式性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| 11
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1．
64即
|x＋
5y|
≤
1． ………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答．．．．．．．．
应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有2人申请A大学的概率；
（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)． 22．（本小题满分10分）
解（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A，
P(A)＝
答
C42×2224
3
4
8
＝＝． 8127
有
2
人
申
请
：恰A大学的概率为
8
． ………………………………………4分 27
（2）X的所有可能值为1，2，3．
- 19 -
P(X＝1)＝4＝，
C4×A3＋3×A34214
P(X＝2)＝＝＝， 4
38127C4×A3364
P(X＝3)＝＝＝． 4
3819
2
3
3
2
2
33127
X的概率分布列为：
X P
所以
1 1 27
2 14 27
3 4 9
X的数学期望E(X)＝1×
1144
＋2×＋3×＝27279
65
． ………………………………………10分 27
23．（本小题满分10分）
设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：
①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)． （1）求f(1)，f(2)，f(3)的值； （2）求f(n)的表达式．
23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分 因为f(n)是单调增函数，
所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5． 因
为
f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝
4． ………………………………………3分 （2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．
证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z， 所以f (n+1)≥f (n)+1． 首先证明：f (n)≥n+1．
因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立． 假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．
则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立． 综
上
，
f (n)≥
n+1． ………………………………………5分
- 20 -
相关推荐：
loading