第5讲 椭圆
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a [必会结论] 椭圆的常用性质 x2y2 (1)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，Pab点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a＝b＋c. (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. 2b(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为. 2 2 2 2 a(5)椭圆离心率e＝ b21－2. a[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距)．( ) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ) (5)方程mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 2．[2017·浙江高考]椭圆＋＝1的离心率是( ) 94A. 13525 B. C. D. 3339 2 2 x2y2 答案 B 解析 ∵椭圆方程为＋＝1， 94∴a＝3，c＝a－b＝9－4＝5. ∴e＝＝ 22x2y2 ca5 .故选B. 3 y2 3．[2018·广东模拟]已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( ) 25mA．2 B．3 C．4 D．9 答案 B 解析 由4＝25－m(m>0)?m＝3，故选B. 1 4．[课本改编]已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C3的方程是( ) A.＋＝1 43C.＋＝1 42答案 D 2 x2 x2y2x2y2 B.＋＝1 43D.＋＝1 98 x2y2 x2y2 x2y2 解析 依题意，设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，所以 abc＝1，??c1?a＝3，??c＝a－b， 2 2 2 解得a＝9，b＝8. 22 故椭圆C的方程为＋＝1. 98 5．椭圆x＋my＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________. 2 2 x2y2 答案 1 4 2 2 2 解析 椭圆x＋my＝1可化为x＋＝1， 1 y2m122 因为其焦点在y轴上，所以a＝，b＝1， m依题意知 11＝2，解得m＝. m4 6．[2018·上海联考]若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数 10－aa－2 x2y2 a＝________. 答案 4或8 解析 ①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝2，解得a＝4；②当焦点在y轴上时， 2 a－2－(10－a)＝22，解得a＝8. 板块二 典例探究·考向突破 考向 椭圆的定义及标准方程 x2y2 例1 (1)[2018·杭州模拟]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、 ab右焦点为F1，F2，离心率为43，则C的方程为( ) A.＋＝1 32C. 3 ，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为3 x2y2x2 12 B.＋y＝1 3D. x2 2 ＋＝1 8 y2x2 12 ＋＝1 4 y2 答案 A 解析 由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又＝∴C的方程为＋＝1，选A. 32 (2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点， 2516|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________． 答案 4 解析 连接PF2，则OM为△PF1F2的中位线， |OM|＝3，∴|PF2|＝6. cac32 ＝，∴c＝1，∴b＝2，33 x2y2 x2y2
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