收敛, 而级数?|un|发散, 则称级?un条件收敛.
n?1n?1??? 例10 级数?(?1)n?1n?11是绝对收敛的, 而级数?(?1)n?11是条件收敛的.
?nn2n?1? 定理7 如果级数?un绝对收敛, 则级数?un必定收敛.
n?1n?1? 值得注意的问题:
如果级数?|un|发散, 我们不能断定级数?un也发散.
n?1n?1??? 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数?|un|发散,
n?1?则我们可以断定级数?un必定发散.
n?1这是因为, 此时|un|不趋向于零, 从而un也不趋向于零, 因此级数?un也是发
n?1?散的.
na的收敛性.
例11 判别级数?sin2n?1?n?sinna1 解 因为|2|?2, 而级数?12是收敛的, nnn?1n?sinnana绝对收敛.
所以级数?|2|也收敛, 从而级数?sin2n?1nn?1n2 例12 判别级数?(?1)n1n(1?1)n的收敛性.
??n?12n第 21 页
1)n2, 有limn|u|?1lim(1?1)n?1e?1,
解: 由|un|?1(1?nn2nn??2n??n22可知limun?0, 因此级数?(?1)n1n(1?1)n发散.
?n??n?12n§ 11. 3 幂级数
一、函数项级数的概念
函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)}, 由这函数列构成的表达式
u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × × 称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为?un(x).
n?1? 收敛点与发散点:
对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数?un(x0)收敛, 则称 点x0是级数?un(x)的收敛点. 若常数项级数?un(x0)发散, 则称 点x0是级数?un(x)的发散点.
n?1n?1?n?1?n?1?? 收敛域与发散域:
函数项级数?un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所
n?1?有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:
在收敛域上, 函数项级数?un(x)的和是x的函数s(x),
n?1?s(x)称为函数项级数?un(x)的和函数, 并写成s(x)??un(x).
n?1n?1??第 22 页
∑un(x)是?un(x)的简便记法, 以下不再重述.
n?1? 在收敛域上, 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),
s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数, 并写成s(x)=∑un(x).
这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:
函数项级数?un(x)的前n项的部分和记作sn(x),
n?1? 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x). 在收敛域上有limsn(x)?s(x)或sn(x)
n??s(x)(n) .
余项:
函数项级数?un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差
n?1? rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数?un(x)的余项.
n?1? 函数项级数∑un(x)的余项记为rn (x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x).
在收敛域上有limrn(x)?0.
n?? 二、幂级数及其收敛性 幂级数:
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数
第 23 页
项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是
a0+a1x+a2x+ × × × +anx+ × × × , 其中常数a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × , 1?x?1x2? ? ? ? ?1xn? ? ? ? .
2!n!2
n 注: 幂级数的一般形式是
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × . 幂级数
1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × ×
可以看成是公比为x的几何级数. 当|x|<1时它是收敛的; 当|x|1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有
1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? . 1?x 定理1 (阿贝尔定理) 如果级数?anxn当x=x0 (x010)时收敛, 则适合不等
n?0?式
|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数?anxn当
n?0?第 24 页
x=x0时发散, 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散.
定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑anx当x=x0 (x010)时收敛, 则适合不等式
|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑anx当
nnx=x0时发散, 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散.
提示: ∑anx是?anxn的简记形式.
n?0n? 证 先设x0是幂级数?anxn的收敛点, 即级数?anxn收敛. 根据级数收敛
n?0n?0??n?0, 于是存在一个常数M, 使 的必要条件, 有limanx0n??| anx0n |￡M(n=0, 1, 2, × × ×). 这样级数?anxn的的一般项的绝对值
n?0?|anxnnnnx|?|anx0?n|?|anx0|?|x|n?M?|x|n. x0x0x0?x|nM?|因为当|x|<|x0|时, 等比级数?收敛, 所以级数?|anxn|收敛, 也就是x0n?0n?0?级数?anxn绝对收敛.
n?0? 简要证明 设∑anxn在点x0收敛, 则有anx0n0(n) , 于是数列{anx0n}
有界, 即存在一个常数M, 使| anx0n |￡M(n=0, 1, 2, × × ×).
nnnx?n| ? |anx0|?|x|n ?M?|x|n, 因为 |anxn| ? |anx0x0x0x0第 25 页
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