同济五版《高等数学》讲稿WORD版-第11章无穷级数60页word 

n而当|x|?|x0|时, 等比级数?M?|x|n收敛, 所以级数∑|anx|收敛, 也就是级数

?n?0x0∑anx绝对收敛.

定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.

推论 如果级数?anxn不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都

n?0?n收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得 当|x|

当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散.

收敛半径与收敛区间: 正数R通常叫做幂级数?anxn的收敛半径

n?0? 开区

间(

R R)叫做幂级数?anxn的收敛区间 再由幂级数在xn?0?n?0?R处的收敛

性就可以决定它的收敛域

幂级数?anxn的收敛域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R,

R]、[-R, R]之一.

规定: 若幂级数?anxn只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数

n?0n?0??anxn对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+￥, 这时收敛域为(-￥, +￥).

? 定理2

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?an?1|??, 其中an、an+1是幂级数?anxn的相邻两项的系数, 则这 如果lim|n??ann?0幂级数的收敛半径

? ?? ??0?? R??1 ??0????0 ????

定理2

如果幂级数?anxn系数满足lim|n?0n???an?1|??, 则这幂级数的收敛半径 an? ?? ??0?? R??1 ??0????0 ????

定理2

?an?1|??, 则幂级数?anxn的收敛半径R为 如果lim|n??ann?0

当

0时R?1? 当0时R 当时R0

an?1xn?1an?1|?lim||?|x| ??|x|. 简要证明: lim|n??n??ananxn (1)如果0

故R?1.

? (2)如果r=0, 则幂级数总是收敛的, 故R=+. (3)如果r=+

, 则只当x0时幂级数收敛, 故R=0.

例1 求幂级数

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?(?1)n?1?n?1xn?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)n?1xn? ? ? ? n23n的收敛半径与收敛域.

例1 求幂级数?(?1)n?1x的收敛半径与收敛域.

?nn?1n 解 因为?? lim|a1n?1n??a|? limn?1??1?1,

nnn所以收敛半径为R?1??1.

当x=1时, 幂级数成为??(?1)n?11, 是收敛的;

n?1n 当x=-1时, 幂级数成为??(?1n), 是发散的. 因此, n?1 例2 求幂级数??1n!xn

n?01?x?12!x2?13!x3? ? ? ? ?1n!xn? ? ? ?

的收敛域.

例2 求幂级数??1xn的收敛域.

n?0n!1 解 因为?? lim|an?1(n?1)!n??a| ? lim1 ? limn!n?1)!?0, nn??n??(n!所以收敛半径为R=+￥, 从而收敛域为(-￥, +￥). 例3 求幂级数??n!xn的收敛半径.

n?0 解 因为

?? lim|an?1n??a| ? (n?1)!nnlim??n!???, 第 28 页

收敛域为(-1, 1].

所以收敛半径为R=0, 即级数仅在x=0处收敛. 例4 求幂级数?(2n)!2nx的收敛半径. 2(n!)n?0? 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:

幂级数的一般项记为un(x)?un?1(x)| ?4|x|2, un(x)(2n)!2nx. (n!)2 因为 lim|n??当4|x|2<1即|x|?1时级数收敛; 当4|x|2

2径为R?1.

21即|x|?1时级数发散, 所以收敛半

2提示

[2(n?1)]!2(n?1)xun?1(x)[(n?1)!]2(2n?2)(2n?1)2??x. 2(2n)!2nun(x)(n?1)x2(n!)?(x?1)n 例5 求幂级数?n的收敛域.

n?12nnt 解 令t=x-1, 上述级数变为?n. n?12n?nan?12| ?n?1?n?1, 因为 ?? lim|n??an2?(n?1)2所以收敛半径R=2.

?(?1)1 当t=2时, 级数成为?, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为?, 此

nnn?1n?1?tn级数收敛. 因此级数?n的收敛域为-2￡t<2

n?12n? 因为-2￡x-1<2, 即-1￡x<3, 所

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以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数?anxn及

n?0?n?0?bnxn分别在区间(-R, R)及(-R￠, R￠)内收敛, 则在

?(-R, R)与(-R￠, R￠)中较小的区间内有 加法: ?anx??bnx??(an?bn)xn, 减法: ?anxn??bnxn??(an?bn)xn,

n?0n?0n?0?n?n?n?0?n?0?n?0? 设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(-R, R)及(-R￠, R￠)内收敛, 则在(-R,

R)与(-R￠, R￠)中较小的区间内有

加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 减法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn .

乘法: (?anx)?(?bnxn)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × ×

nn?0n?0?? +(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × ×

性质1 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续.

n?0? 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R](或[-R, R))连续.

性质2 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积

n?0? 并且有逐项积

分公式

?0s(x)dx??0(?anx)dx???0anxdx??nxn?1(xI )

n?0n?0n?0n?1nnxx??x?a

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