∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC是等腰直角三角形． [类题通法]
1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
[活学活用]
在△ABC中，若b＝acos C，试判断该三角形的形状．
解：∵b＝acos C，＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)
sin Asin B∴sin B＝sin A·cos C. ∵B＝π－(A＋C)，
∴sin (A＋C)＝sin A·cos C.
即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0，
∵A，C∈(0，π)，∴cos A＝0， π∴A＝，
2
∴△ABC为直角三角形．
ab
1.警惕三角形中大边对大角
[典例] 在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，则B＝________.
sin Asin 60°1
[解析] 由正弦定理，得sin B＝b×＝2×＝.∵0°＜B＜180°，∴Ba223＝30°，或B＝150°.∵b＜a，根据三角形中大边对大角可知B＜A，∴B＝150°不符合条件，应舍去，∴B＝30°.
[答案] 30° [易错防范]
5
1
1．由sin B＝得B＝30°或150°，而忽视b＝2＜a＝23，从而易出错．
22．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍． [成功破障]
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b＝6，a＝23，A＝30°，求
ac的值.
解：由正弦定理＝得
sin Asin Bsin B＝
abbsin A6sin 30°3
＝＝. a223
由条件b＝6，a＝23，b＞a知B＞A. ∴B＝60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC中，C＝90°，a＝23，b＝6，c＝43， ∴ac＝23×43＝24.
②当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， ∴A＝C，则有a＝c＝23.∴ac＝23×23＝12.
[随堂即时演练]
1．(广东高考)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝( ) A．43 C.3
B．23 D.3
2
解析：选B 由正弦定理得＝，
sin Asin B即
32AC＝，
sin 60°sin 45°
BCAC322
所以AC＝×＝23，故选B.
232
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B的值为( ) 22A．－
3
B.22
3
6
C．－6 3
D.
6 3
解析：选D 根据正弦定理解得sin B＝3， 3
b1510＝可得＝， sin Asin Bsin 60°sin Ba又因为b 所以B 2 6. 3 2 3．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin C，则△ABC是________三角形． 解析：由已知得sin A－sin B＝sin C，根据正弦定理知 sin A＝，sin B＝，sin C＝， 2R2R2R所以??－??＝??， ?2R??2R??2R?即a－b＝c，故b＋c＝a. 所以△ABC是直角三角形． 答案：直角 45 4．(全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝， 513 2 2 2 2 2 2 2 2 2 abc?a?2?b?2?c?2 a＝1，则b＝______. 45 解析：在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， 513 31235412 ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×51351351363 ＝. 65 631× 6521abasin B又∵＝，∴b＝＝＝. sin Asin Bsin A313 521答案： 13 5．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； 7 (3)a＝9，b＝10，A＝60°. 解：(1)sin B＝ bsin 120°433 ＝×＜， a522 所以△ABC有一解． (2)sin B＝(3)sin B＝ bsin 150° ＝1，所以△ABC无解． absin 60°10353353 ＝×＝，而＜＜1， a92929 53 所以当B为锐角时，满足sin B＝的B的取值范围为60°＜B＜90°； 9当B为钝角时有90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°， 所以△ABC有两解． [课时达标检测] 一、选择题 1．在△ABC中，下列式子与A. C.sin C sin A的值相等的是( ) abcB.D. sin B sin A sin Ccc解析：选C 由正弦定理得sin Asin C所以＝. ＝， sin Asin Cacac2．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( ) A．A>B C．A≥B 解析：选A ∵sin A>sin B， ∴2Rsin A>2Rsin B， 即a>b，故A>B. 3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( ) A．4 C．43 B．123 D．12 B．A D．A，B的大小关系不确定 解析：选D 若设120°角所对的边长为x， 8
相关推荐：
loading