则由正弦定理可得x46
sin 120°＝sin 45°
，
46×
3于是x＝46·sin 120°
2
sin 45°
＝
2＝12，故选D.
2
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得
bcsin B＝sin C， ∴sin B＝bsin C40×32c＝20
＝3>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( ) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在△ABC中，ab＋csin A＝sin B＋sin C
解析：选B 由正弦定理易知A，C，D正确． 对于B，由sin 2A＝sin 2B， 可得A＝B，或2A＋2B＝π， 即A＝B，或A＋B＝π
2
，
∴a＝b，或a2
＋b2
＝c2
，故B错误. 二、填空题
6．(北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π
3，则∠B＝________.
解析：在△ABC中，根据正弦定理asin A＝
bsin B，
有
3＝6，可得2
sin
2πsin Bsin B＝2. 3
因为∠A为钝角，所以∠B＝
π4
. 9
π答案： 4
7．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________. 解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
即a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶3. 答案：1∶1∶3
8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________. 解析：由正弦定理，得 sin C＝
AB·sin A5sin 120°53
＝＝. BC714
可知C为锐角，
112
∴cos C＝1－sinC＝. 14
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C) 33
＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.
1433答案：
14三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2B＝A＋C，a＋2b＝2c，求sin C的值．
解：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°， ∴B＝60°，A＋C＝120°， ∴0° A＝120°－C. ∵a＋2b＝2c， 由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin C， ∴sin(120°－C)＋即 6 ＝2sin C， 2 316 cos C＋sin C＋＝2sin C， 222 336∴sin C－cos C＝. 222 10 ∴sin(C－30°)＝ 2. 2 ∵－30° ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ 6＋2 . 4 10．(天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝3 bsin A. (1)求B； 1 (2)若cos A＝，求sin C的值． 3 解：(1)由asin 2B＝3bsin A及正弦定理得 2asin Bcos B＝3bsin A＝3asin B， 所以cos B＝3π，所以B＝. 26 122 (2)由cos A＝，可得sin A＝，则 33sin C＝sin[π－(A＋B)] ?π?＝sin(A＋B)＝sin?A＋? 6?? ＝ 3126＋1 sin A＋cos A＝. 226 a2sin Bb2sin A11．在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状． cos Bcos Aa2sin Bb2sin A解：∵＝， cos Bcos Aa＝2Rsin A，b＝2Rsin B， 4Rsin Asin B4Rsin Bsin A∴＝. cos Bcos A又∵sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B， ∴2A＝2B，或2A＋2B＝π， π 即A＝B，或A＋B＝. 2 11 2 2 2 2 故△ABC是等腰三角形或直角三角形． 12．已知方程x－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC2 的两边，A，B为两内角，试判定这个三角形的形状． 解：设方程的两根为x1、x2， 由根与系数的关系，得???x1＋x2＝bcos A，??x1x2＝acos B. ∴bcos A＝acos B. 由正弦定理得：sin Bcos A＝sin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， sin(A－B)＝0. ∵A、B为△ABC的内角， ∴0 12
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