三角函数题解
1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A.（1－y）sinx+2y－3=0 B.（y－1）sinx+2y－3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0 1.答案：C
解析：将原方程整理为：y=
?2个单位，再沿y轴向
1?，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位
22?cosx1和1个单位，因此可得y=
2?cos(x?)2评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－
?－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.
?2）+2（y+1）－1=0，即得C选项.
2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.答案：B
解析：sin2α＝2sinαcosα＜0 ∴sinαcosα＜0 即sinα与cosα异号，∴α在二、四象限， 又cosα－sinα＜0 ∴cosα＜sinα
由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 图4—5
3.（2002上海春，14）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
4.（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ） A.［2kπ－
?2，2kπ＋
?2］（k∈Z）
B.［2kπ＋
?2，2kπ＋
3?］（k∈Z） 2C.［2kπ－π，2kπ］（k∈Z） D.［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
1
4.答案：A
解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.
5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ） A.（
??，42）∪（π，
5?） 4
?B.（，π）
4C.（
?5?，44）
D.（
?5?，π）∪（44，
3?） 25.答案：C
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标由图4—6可得C答案.
?4和
5?，4
图4—6 图4—7
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）
6.（2002北京，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图4—1所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（ ）
A.（0，1）∪（2，3）
B.（1，
?2）∪（
?2，3）
C.（0，1）∪（
?2，3） 图4—1 D.（0，1）∪（1，3） 6.答案：C
2
?f(x)?0?f(x)?0??解析：解不等式f（x）cosx＜0??cosx?0或?cosx?0
?0?x?3?0?x?3???1?x?3?0?x?1??∴?? ∴0＜x＜1或＜x＜3 或?2?x???0?x?1??27.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（减函数的是（ ）
A.y=cos2x
C.y＝(
?2，π）上为
B.y＝2|sinx| D.y=－cotx
1cosx )3
7.答案：B
解析：A项：y=cos2x=上为增函数.
B项：作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间（为减函数.
C项：函数y=cosx在(
1?cos2x?，x=π，但在区间（，π）22图4—8 ?2，π）上
?2，π)区间上为减函数,数y=（
1x1）为减函数.因此y=（）cosx33在（
?2，π）区间上为增函数.
D项：函数y＝－cotx在区间（
?2，π）上为增函数.
8.（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）
8.答案：C
解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数.
3
选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.
9.（2001春季北京、安徽，8）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.答案：B
解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°， ∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B.
10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ） A.1＋
3
B.1－
3
C.－1－
3
D.－1＋
3
10.答案：B
解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－
11.（2000全国，4）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ C.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ 11.答案：D
解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.
12.（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）
3.
12.答案：D
解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当 x∈（0，
13.（1999全国，4）函数f（x）=Msin（ωx＋?）（ω＞0），在区间［a，b］上是增函数，且f（a）=－M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx＋?）在［a，b］上（ ）
A.是增函数 C.可以取得最大值－
?）时，y＝－xcosx＜0. 2 B.是减函数
D.可以取得最小值－m
4
13.答案：C
??＋2kπ≤ωx＋?≤＋2kπ（k∈Z），故有g（x）在22［a，b］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋?＝2kπ时g（x）可取到最大值M，答
解法一：由已知得M＞0，－案为C.
解法二：由题意知，可令ω＝1，?＝0，区间［a，b］为［－
??，］，M＝1，则 22g（x）为cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.
评述：本题主要考查函数y=Asin（ωx＋?）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.
14.（1999全国，11）若sinα＞tanα＞cotα（－
?＜α2＜
?)，则α2∈（ ）
??A.（－，－）
24C.（0，
?B.（－，0）
4D.（
?） 4
??，） 42?614.答案：B 解法一：取α＝±
??，±36代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α＝－适合，
又只有－
?6∈（－
?，0），故答案为B. 4?∈（－，0），再由tanα
2＞cotα得:α
解法二：先由sinα＞tanα得：α
?∈（－
4，0）
评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类
题型，运用特殊值法求解较好.
15.（1999全国文、理，5）若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ） A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 15.答案：B
解析：取f（x）=cosx，则f（x）2sinx=
1sin2x为奇函数，且T=π. 2评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.
16.（1998全国，6）已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）
5
A.（
?3?，24）∪（π，
5?） 4）
B.（
??5?，）∪（π，424C.（
?3?，24）∪（
5?3?，） 42，π）
D.（
??3?，）∪（42416.答案：B
解法一：P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，有tanα＞0， A、C、D中都存在使tanα＜0的α，故答案为B.
解法二：取α
?＝33?5?∈（,），验证知P在第一象限，排除A、C，取α＝∈（，
6424??π），则P点不在第一象限，排除D,选B.
解法三：画出单位圆如图4—10使sinα－cosα＞0是图中阴影部分，又tanα＞0可得
?4????2或π＜α＜
5?，故选B. 4评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.
17.（1997全国，3）函数y=tan（
11x?π）在一个周期内的图象是（ ） 23
17.答案：A 解析：y＝tan（
112?2?1x?π）＝tan（x－），显然函数周期为T＝2π，且x＝
22333时，y=0，故选A.
评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.
18.（1996全国）若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ ）
A.{x|2kπ－
3?π B.{x|2kπ+ ?4?4 5π，k∈Z} 4，k∈Z} C.{x|kπ－ ?4D.{x|kπ+ ?4 3π，k∈Z} 418.答案：D 解析一：由已知可得cos2x=cos2x－sin2x<0，所以2kπ+ ?3<2x<2kπ+π，k∈Z.解得k22π+ ?3 122.因此有sinx>或sinx<－.由正222弦函数的图象（或单位圆）得2kπ+ ?357 57?3?π ?3? 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 19.（1995全国文，7）使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（ ） A.［－ 3??，］ 44 B.［－ ?2， ?］ 2C.［－ ?3?，44］ D.［0，π］ 19.答案：Ass 解法一：由已知得： 2 sin（x－ ?）≤0，所以42kπ＋π≤x－ ?4≤2kπ＋2π，2k π＋ 9?3??5?≤x≤2kπ＋，令k=－1得－≤x≤，选A. 44447 图4—11 解法二：取x＝ 2???2?32?1，有sin?,cos??，排除C、D，取x＝，有sin3333232＝ 3?1,cos?，排除B，故选A. 232解法三：设y＝sinx，y＝cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A. 解法四：画出单位圆，如图4—12，若sinx≤cosx，显然应是图中阴影部分，故应选A. 评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用. 20.（1995全国，3）函数y＝4sin（3x＋ 图4—12 ??）＋3cos（3x＋44）的最小正周期是（ ） A.6π 20.答案：C 解析：y＝4sin（3x＋ B.2π C. 2? 3 D. ? 3?4）＋3cos（3x＋ ?4）＝5［ 43??sin（3x＋）＋cos（3x＋）］ 4455＝5sin（3x＋ ?4＋?）（其中tan?＝ 3） 4所以函数y＝sin（3x＋故应选C. ?4）＋3cos（3x＋ ?4）的最小正周期是T＝ 2?. 3评述：本题考查了asinα＋bcosα＝ a2?b2sin（α＋?），其中sin?＝ ba?b22， cos?＝ aa?b22，及正弦函数的周期性. 21.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝ 5，那么sin2θ等于（ ） 9 D.－ A. 22 3 B.－ 22 3 C. 2 32 321.答案：A 8 解法一：将原式配方得（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝ 5 9于是1－ 1258sin2θ＝，sin22θ＝，由已知，θ在第三象限， 2993? 2故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋ 从而4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝ 22，故应选A. 3解法二：由2kπ＋π＜θ＜2kπ＋ 3?，有4kπ＋2π＜4kπ＋3π（k∈Z），知sin2θ2＞0，应排除B、D，验证A、C，由sin2θ＝ 422，得2sin2θcos2θ＝，并与sin4θ＋cos4 93θ＝ 5相加得（sin2θ＋cos2θ）2＝1成立，故选A. 9评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别. 22.（1994全国文，14）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－等于（ ） A. ?8对称，那么a 2 B.－ 2 C.1 D.－1 22.答案：D 解析：函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ ?8对称，表明：当x=－ ?8时，函数取 得最大值 a2?1，或取得最小值－a2?1,所以有［sin（－ ??22 ）+a2cos（－）］=a+1，44解得a=－1. 评述：本题主要考查函数y=asinx+bcosx的图象的对称性及其最值公式. 23.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan ??>cot 22 B.tan ?? C.sin ??>cos 22 D.sin ??－cos 2223.答案：A 解法一：因为θ为第二象限角，则2kπ＋ ?＜θ2＜2kπ＋π（k∈Z），即 ?为第一象2限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan ??＞cot. 22解法二：由已知得：2kπ＋ ?＜θ2＜2kπ＋π，kπ＋ ??＜＜ 42kπ＋ ?5?，k为奇数时，2nπ＋ 42＜ ?2＜2nπ＋ 3?（n∈Z）； 2tan k为偶数时，2nπ＋ ???＜＜2nπ＋（n∈Z），都有422?＞2图4—13 cot ?2，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1)在区间［0，则ω＝ . 24.答案： ?］上的最大值是2，33 4解析：∵0＜ω＜1 ∴T＝ 2??＞2π ∴f（x）在［0， ?3］区间上为单调递增函数 ∴f（x）max＝f（ ???3?2 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝ ）即2sin 433267π，cosπ，tanπ从小到大的顺序是 . 55525.（2002北京文，13）sin 25.答案：cos 2?7?6π＜sin＜tan 555解析：cos 6?7?2??＜0，tan＝tan ∵0＜x＜时，tanx＞x＞sinx＞0 555210 ∴tan 2?2?7?2?6?＞sin＞0 ∴tan＞sin＞cos 55555sin7??cos15?sin8?的值为_____. cos7??sin15?sin8?26.（1997全国，18） 26.答案：2－解析： 3 sin7??cos15?sin8?sin(15??8?)?cos15?sin8?sin15?cos8? ??cos7??sin15?sin8?cos(15??8?)?sin15?sin8?cos15?cos8?1?cos30??2?3. sin30??tan15??评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+27.答案： 3tan20°2tan40°的值是_____. 3 tan20??tan40?，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°， 1?tan20?tan40?解析：tan60°= ∴tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=3. ?28.（1995全国理，18）函数y＝sin（x－ 628.答案：－ ）cosx的最小值是 . 3 4?解析：y＝sin（x－ 6当sin（2x－ ???111）cosx＝［sin（2x－）－sin］＝［sin（2x－）－］ 222666113（－1－）＝－. 224?6）＝－1时，函数有最小值，y最小＝ 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 29.（1995上海，17）函数y＝sin xx＋cos在（－2π，2π）内的递增区间是 . 2211 29.答案：［?3??,］ 22解析：y＝sin x?xx?x??＋cos＝2sin（?），当2kπ－≤＋≤2kπ＋（k222242243?3???≤x≤4kπ＋（k∈Z），只有k＝0时，［－，］ 2222∈Z）时，函数递增，此时4kπ－（－2π，2π）. 30.（1994全国，18）已知sinθ＋cosθ＝ 1，θ∈（0，π），则cotθ的值是 . 530.答案：－ 3 4解法一：设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ－cosθ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sinθcosθ＝ 1 25变形得1－2sinθcosθ＝2－ 1， 25即（sinθ－cosθ）2＝ 49 25又sinθ＋cosθ＝ 1，θ∈（0，π） 5图4—14 则 ?2＜θ＜ 3?，如图4—14 4所以sinθ－cosθ＝ 7，于是 5sinθ＝ 343，cosθ＝－，cotθ＝－. 45512，又θ∈（0，π），有cosθ＜025解法二：将已知等式平方变形得sinθ2cosθ＝－ ＜sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x2－ 1123x－＝0的两个根，故有cosθ＝－， 255512 sinθ＝ 43，得cotθ＝－. 45评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活. 31.（2000全国理，17）已知函数y＝ 123cosx＋sinxcosx＋1，x∈R. 22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 31.解：（1）y＝ 123cosx＋sinxcosx＋1 22＝ 311（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1 444531cos2x＋sin2x＋ 4441??5（cos2x2sin＋sin2x2cos）＋ 46621?5sin（2x＋）＋ 462＝ ＝ ＝ y取得最大值必须且只需2x＋ ?6＝ ?＋2kπ，k∈Z， 2即x＝ ?6＋kπ，k∈Z. 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换： ①把函数y＝sinx的图象向左平移 ?6＋kπ，k∈Z｝. ?6，得到函数y＝sin（x＋ ?6）的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 1倍（纵坐标不变），得到函数 2y＝sin（2x＋ ?6）的图象； 13 ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 1倍（横坐标不变），得到函数 2y＝ ?1sin（2x＋）的图象； 26?515个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象； 4246④把得到的图象向上平移 综上得到函数y＝ 123cosx＋sinxcosx＋1的图象. 22评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力. 32.（2000全国文，17）已知函数y＝ 3sinx＋cosx，x∈R. （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 32.解：（1）y＝ 3sinx＋cosx＝2（sinxcos ?6＋cosxsin ?6）＝2sin（x＋ ?6），x∈R y取得最大值必须且只需x＋ ?6＝ ?＋2kπ，k∈Z， 2即x＝ ?＋2kπ，k∈Z. 3?所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝ 3（2）变换的步骤是： ①把函数y＝sinx的图象向左平移 ?6，得到函数y＝sin（x＋ ?6）的图象； ②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y＝2sin（x＋ ?6）的图象； 经过这样的变换就得到函数y＝ 3sinx＋cosx的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力. 14 33.（1995全国理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值. 33.解：原式＝ 111（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°） 222＝1＋ 111（cos100°－cos40°）＋sin70°－ 224＝ 31－sin70°sin30°＋sin70° 243131－sin70°＋sin70°＝. 2424＝ 评述：本题考查三角恒等式和运算能力. ?3134.（1994上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan（π－β）＝， 252求tan（α－2β）的值. 34.解：由题设sinα＝ ?3，α∈（，π）， 52可知cosα＝－ 34，tanα＝－ 54112tan?4，tanβ＝－，所以tan2β＝?? 2221?tan?3又因tan（π－β）＝ 34??tan??tan2?7tan（α－2β）＝?43? 1?tan?tan2?1?12435.（1994全国理，22）已知函数f（x）=tanx，x∈（0， ??），若x1、x2∈（0，），且x122≠x2，证明 x?x21［f（x1）＋f（x2）］＞f（1）. 22sinx1sinx2sinx1cosx2?cosx1sinx235.证明：tanx1＋tanx2＝ ??cosx1cosx2cosx1cosx2?sin(x1?x2)2sin(x1?x2) ?cosx1cosx2cos(x1?x2)?cos(x1?x2)15 因为x1，x2∈（0， ?），x1≠x2， 2所以2sin（x1＋x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1－x2）＜1， 从而有0＜cos（x1＋x2）＋cos（x1－x2）＜1＋cos（x1＋x2）， 由此得tanx1＋tanx2＞ 2sin(x1?x2)， 1?cos(x1?x2)所以 x?x21（tanx1＋tanx2）＞tan1 22即 x?x21［f（x1）＋f（x2）］＞f（1）. 2236.已知函数f(x)?log1(sinx?cosx) 2⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性. 解（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及2k????x?2k??5?，k∈Z 44∴ 函数定义域为(2k??(2k???5,2k???)，k∈Z∵ sinx?cosx?2sin(x??)∴当x∈44412??∴ 函数值 2??5,2k???)时，0?sin(x?)≤1∴ 0?sinx?cosx≤2∴ y≥log14442域为[?1,??） 2（3）∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴f(x)不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号 37. 求函数f (x)=log1cos(x?213?4)的单调递增区间 1<1,∴当2解：∵f (x)=log1cos(x?213?4) 令t?1x??,∴y=log3412cost,t是x的增函数,又∵0< y=log1cost为单调递增时,cost为单调递减 且cost>0,∴2k?≤t<2k?+ 2? (k?Z),∴2k?≤21??3?3?1?≤x<6k?+ (k?Z),∴f (x)=log1cos(x?)的单调递减区间是x?<2k?+ (k?Z) ,6k?-24434342 16 [6k?- 3?3?,6k?+) (k?Z) 4438. 已知f(x)=5sinxcosx-53cos2x+ 53（x∈R） 2⑴求f(x)的最小正周期； ⑵求f(x)单调区间； ⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。 解： （1）T=π （2）增区间[kπ-（3）对称中心（ ?5511，kπ+π]，减区间[kπ+?,k???] 12121212k??k5，对称轴x????，k∈Z ?，0） 21226 39若关于x的方程2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0,∴ 171217,∵? 1≤sinx≤1 ,∴当sinx??1时，a??； a?2sinx?sinx?2?2(sinx?)?min48482当sinx?1时，amax?1, ∴a的取值范围是[? 17,1] 8 17
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