专题突破练16 热点小专题二 球与多面体的内
切、外接
一、选择题
1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.12π 2.
B.3π
32
C.8π D.4π
(2019江西九江一模,文9)《九章算术》卷第五《商功》中,有“贾令刍童,上广一尺,袤二尺,下广三尺,袤四尺,高一尺.”,意思是:“假设一个刍童,上底面宽1尺,长2尺;下底面宽3尺,长4尺,高1尺(如图).”(注:刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形,两底面的中心连线与底面垂直的几何体),若该几何体所有顶点在一球的表面上,则该球体的表面积为( ) A.46π平方尺 C.40π平方尺 3.
B.41π平方尺 D.36π平方尺
(2019山东济宁一模,理9)《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的体积为( ) A.3π B.√6π C.6π D.8π
4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的直径为( ) A.13
B.4√10 C.2√10 D.2√17
8√21
5.(2019山东潍坊二模,理8)一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2,则该四面体外接球的表面积为( ) A.6π
B.12π
C.32π
D.48π
6.(2019北京朝阳一模,理7改编)某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该三棱锥的外接球的体积为( )
A.4π
B.2√3π
C.6√3π
D.4√3π
7.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
8.如图②,需在正方体的盒子内镶嵌一个小球,使得镶嵌后三视图均为图①所示,且面A1C1B截得小球的截面面积为3,则该小球的体积为( )
2π
A.6
π
B.3 4π
C.3 32π
D.3 8√2π9.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( ) A.32√3π 10.
B.48π
C.24π
D.16π
2
(2019四川第二次诊断,理10)已知一个几何体的正视图,侧视图和俯视图均是直径为10的圆(如图),这个几何体内接一个圆锥,圆锥的体积为27π,则该圆锥的侧面积为( ) A.9√10π B.12√11π C.10√17π D.3 11.
40√3π
(2019山西吕梁一模,文12)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=4,AB=2,且SA+SD=8,当该四棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为 A.20π C.π
803
( )
B.25π D.π
763
12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( ) A.6 √2B.6
√3C.3
√2D.2 √2二、填空题
13.(2019四川成都二模,理14)已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的表面上,若AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=√2,则球O的表面积为 .
14.(2019河北唐山一模,理15)在四面体ABCD中,AB=BC=1,AC=√2,且AD⊥CD,该四面体外接球的表面积为 . 15.
3
(2019湖南六校联考,理15)在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则= .
16.已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S -ABC的体积为9,则球O的表面积为
参考答案
.
????专题突破练16 热点小专题二 球与多面体的内切、外接
1.A 解析 设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=√3??2,则r=√3.所以该球的表面积为4π×(√3)2=12π,故选A.
2.B 解析 由已知得球心在几何体的外部,设球心到几何体下底面的距离为x,则R2=x2+
52√522
=(x+1)+,解得22
x=2,∴R2=4,∴该球的表面积S=41π.故选B.
41
3.A 解析 根据几何体的三视图可知几何体为底面为腰长为√2的直角等腰三角形,高为2的直三棱柱.设外接球的半径为R,则(2R)2=(√2)2+(√2)2+22,解得R=√2,所以V=3π(√2)3=
4
8√2π.故选3
A.
√32+42+1222
4.A 解析 由题意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O的半径R=球O的直径为13.故选A.
5.B 解析 如图,在四面体ABCD中,∠ABD=∠ABC=∠BCD=∠
=
132
,故
ACD=90°,AB=BC=CD=2,可得BD=2√2,AD=2√3,设AD的中点为O,连接OB,OC,则OB=OC=OA=OD,所以AD的中点O即为外接球的球心,故球O半径为√3,其表面积为12π,故选B.
6.D 解析 由三视图得该几何体的直观图如图所示.
4
将该三棱锥补形为正方体,如图所示.
所以该三棱锥的外接球的体积等于补形后正方体外接球的体积,所以球的直径等于正方体的体对角线长,即2R=√22+22+22=2√3,所以球的体积为V=3π×(√3)3=4√3π. 7.C 解析 由△AOB的面积确定可知,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大,则其体积最大.因为高最大为半径R,所以VO-ABC=3×2R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π. 8.B 解析 设正方体盒子的棱长为2a,则内切球的半径为a,平面A1BC1是边长为2√2a的正三角形,且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点,∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,则由图得,△A1BC1内切圆的半径是√2a×tan 30°=3a,则所求的截面圆的面积是π·3a2=3a2=3,故a=1,∴该小球的体积为V球=3×13=3.
9.A 解析 由题意画出几何体的直观图如图,把A,B,C,D扩展为三棱柱,上下底面中心的中点与A的距离为球的半径,AD=2AB=6,OE=3,△ABC是正三角形,AE=3×
√32
2
4π
4π√6
√6
2π
2π
1
1
4
×3=√3,AO=√32+(√3)2=2√3.故所求球的体积为3π×(2√3)3=32√3π.
4
5
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