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2020版新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习:第二部分 专题二 第2讲 数列通项与求和 练典型习题

来源:用户分享 时间:2025/7/10 9:13:47 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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[A组 夯基保分专练]

一、选择题

1.(2019·广东省六校第一次联考)数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为( )

A.49 C.99

B.50 D.100

解析:选A.由题意得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时,a1=S1=3,所以数列{bn}的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A.

2.(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )

A.2

n-1

3?

B.??2?

n-1

n-1

2?

C.??3?

n-1

1?D.??2?

1

解析:选B.法一:当n=1时,S1=a1=2a2,则a2=.当n≥2时,Sn-1=2an,则Sn-Sn-

2an+133

=a=2a-2a,所以=,所以当n≥2时,数列{an}是公比为的等比数列,所以an1nn+1n

an221??3?n-1?

×?2?1-?2???3?n-11131?3?n-2

n-2=?1?3?,所以Sn=1++×+…+×?2?=1+=?2?,当

22223×,n≥2?1-?2?2?2

?1,n=1

n=1时,此式也成立.

故选B.

113

法二:当n=1时,S1=a1=2a2,则a2=,所以S2=1+=,结合选项可得只有B满足,

222故选B.

3.数列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2 019=( ) A.1 C.3

B.-2 D.-3

解析:选A.因为an+1=an-an-1(n≥2),所以an=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1

=(an-1-an-2)-an-1=-an-2(n≥3).

所以an+3=-an(n∈N*), 所以an+6=-an+3=an,

故{an}是以6为周期的周期数列. 因为2 019=336×6+3,

- 1 -

所以a2 019=a3=a2-a1=3-2=1.故选A.

13

4.(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足2an+1+an=3(n≥1),且a3=,其前

4n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<

A.8 C.10

1

的最小整数n是( ) 123B.9 D.11

an+1-11

解析:选C.由2an+1+an=3,得2(an+1-1)+(an-1)=0,即=-(*),

2an-1

1399

又a3=,所以a3-1=,代入(*)式,有a2-1=-,a1-1=9,所以数列{an-1}是首

4421

项为9,公比为-的等比数列.所以|Sn-n-6|=|(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)-6|=

2

?1-?-1??9×???2?????1?n?1

*

-6?=-6×-<,又n∈N,所以n的最小值为10.故选C. ?1??2??123??

?1-?-2??

5.(2019·江西省五校协作体试题)设Sn是数列{an}的前n项和,若an+Sn=2n,2bn=2an+

2-an+1,则

n

111

++…+=( ) b12b2100b100

98

B.

99100D. 101

97A.

9899C.

100

解析:选D.因为an+Sn=2n①,所以an+1+Sn+1=2n1②,②-①得2an+1-an=2n,所以1111++

2an+2-an+1=2n1,又2bn=2an+2-an+1=2n1,所以bn=n+1,==-,

nbnn(n+1)nn+1111111111100则++…+=1-+-+…+-=1-=,故选D. b12b2100b100223100101101101

2

6.(多选)一个弹性小球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的再落下,3设它第n次着地时,经过的总路程记为Sn,则当n≥2时,下面说法正确的是( )

A.Sn<500 B.Sn≤500

700

C.Sn的最小值为

3D.Sn的最大值为400

2

100+100××2?解析:选AC.第一次着地时,共经过了100 m,第二次着地时,共经过了?3??2?2?m,…,以此类推,第n次着m,第三次着地时,共经过了?100+100××2+100×?×2?3?3??

- 2 -

2

2

100+100××2+ 地时,共经过了?3?

400??2?n-1?

3?1-?3??2?22?n-1???=100+100×?3?×2+…+100×?3?×2m.所以Sn=100+2?

1-3

n-1

2

400?1-????3??.S是关于n的增函数,所以当n≥2时,S的最小值为S,且S=700.又S=

n22n

3?n

n-1

2

100+400?1-??

??3?

二、填空题

?<100+400=500.故选AC. ?

7.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述的已知条件,可求得该女子前3天所织布的总尺数为________.

解析:设该女子第一天织布x尺, x(25-1)5则=5,解得x=,

312-1

5

(23-1)3135

所以该女子前3天所织布的总尺数为=. 312-135

答案:

31

8.(一题多解)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=________.

解析:法一:由Sn+1=Sn+an+3得an+1-an=3,

则数列{an}是公差为3的等差数列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,所以a1=1,S8

8×7

=8a1+d=92.

2

法二:由Sn+1=Sn+an+3得an+1-an=3,则数列{an}是公差为3的等差数列,S8=8(a1+a8)8(a4+a5)

==92. 22

答案:92

1

1-n?an+1,9.(2019·江西九江统考改编)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2Sn=??3?bn=(-1)n·(log3an)2,则an=________,数列{bn}的前2n项和为________.

11

1-n?an+1①,则当n≥2时,有2Sn-1=?1-n-1?an解析:根据题意,数列{an}满足2Sn=?3?3???

1

1-n?(an+1-3an)=0,所以an+1-3an=0,即an+1=3an(n≥2).由2Sn=②,由①-②可得??3?

- 3 -

?1-1n?an+1,可求得a2=3,a2=3a1,则数列{an}的首项为1,公比为3的等比数列,所以an?3?

=3n1,bn=(-1)n·(log3an)2=(-1)n·(log33n1)2=(-1)n(n-1)2,则b2n-1+b2n=-(2n-2)2

n(1+4n-3)

+(2n-1)2=4n-3.所以数列{bn}的前2n项和T2n=1+5+9+…+(4n-3)==22n2-n.

答案:3n1 2n2-n

三、解答题

10.(2019·广州市综合检测(一))已知{an}是等差数列,且lg a1=0,lg a4=1. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an+bn}的前n项和. 解:(1)因为lg a1=0,lg a4=1, 所以a1=1,a4=10. 设等差数列{an}的公差为d, a4-a1则d==3.

4-1

所以an=a1+3(n-1)=3n-2. (2)由(1)知a1=1,a6=16,

2

因为a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,所以ak=a1a6=16.

又an=3n-2>0, 所以ak=4. 因为ak=3k-2, 所以3k-2=4,得k=2.

b2a2

所以等比数列{bn}的公比q===4.

b1a1所以bn=4n1.

所以an+bn=3n-2+4n1.

n(3n-1)1-4n3211n

所以数列{an+bn}的前n项和为Sn=+=n-n+(4-1).

2231-424

11.(2019·江西八所重点中学联考)设数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).

4-an

?1?

(1)求证:数列?a-2?是等差数列;

?n?

a2n(2)设bn=-1,求数列{bn}的前n项和Tn.

a2n-1

4-an411111

解:(1)证明:因为an+1=,所以-=-=-=44-anan+1-2an-2an-22an-4an-2-24-an

- 4 -

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