[A组 夯基保分专练]
一、选择题
1.(2019·广东省六校第一次联考)数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为( )
A.49 C.99
B.50 D.100
解析:选A.由题意得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时,a1=S1=3,所以数列{bn}的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A.
2.(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
A.2
n-1
3?
B.??2?
n-1
n-1
2?
C.??3?
n-1
1?D.??2?
1
解析:选B.法一:当n=1时,S1=a1=2a2,则a2=.当n≥2时,Sn-1=2an,则Sn-Sn-
2an+133
=a=2a-2a,所以=,所以当n≥2时,数列{an}是公比为的等比数列,所以an1nn+1n
an221??3?n-1?
×?2?1-?2???3?n-11131?3?n-2
n-2=?1?3?,所以Sn=1++×+…+×?2?=1+=?2?,当
22223×,n≥2?1-?2?2?2
?1,n=1
n=1时,此式也成立.
故选B.
113
法二:当n=1时,S1=a1=2a2,则a2=,所以S2=1+=,结合选项可得只有B满足,
222故选B.
3.数列{an}中,a1=2,a2=3,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),那么a2 019=( ) A.1 C.3
B.-2 D.-3
解析:选A.因为an+1=an-an-1(n≥2),所以an=an-1-an-2(n≥3),所以an+1=an-an-1
=(an-1-an-2)-an-1=-an-2(n≥3).
所以an+3=-an(n∈N*), 所以an+6=-an+3=an,
故{an}是以6为周期的周期数列. 因为2 019=336×6+3,
- 1 -
所以a2 019=a3=a2-a1=3-2=1.故选A.
13
4.(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足2an+1+an=3(n≥1),且a3=,其前
4n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<
A.8 C.10
1
的最小整数n是( ) 123B.9 D.11
an+1-11
解析:选C.由2an+1+an=3,得2(an+1-1)+(an-1)=0,即=-(*),
2an-1
1399
又a3=,所以a3-1=,代入(*)式,有a2-1=-,a1-1=9,所以数列{an-1}是首
4421
项为9,公比为-的等比数列.所以|Sn-n-6|=|(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)-6|=
2
?1-?-1??9×???2?????1?n?1
*
-6?=-6×-<,又n∈N,所以n的最小值为10.故选C. ?1??2??123??
?1-?-2??
5.(2019·江西省五校协作体试题)设Sn是数列{an}的前n项和,若an+Sn=2n,2bn=2an+
2-an+1,则
n
111
++…+=( ) b12b2100b100
98
B.
99100D. 101
+
97A.
9899C.
100
解析:选D.因为an+Sn=2n①,所以an+1+Sn+1=2n1②,②-①得2an+1-an=2n,所以1111++
2an+2-an+1=2n1,又2bn=2an+2-an+1=2n1,所以bn=n+1,==-,
nbnn(n+1)nn+1111111111100则++…+=1-+-+…+-=1-=,故选D. b12b2100b100223100101101101
2
6.(多选)一个弹性小球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的再落下,3设它第n次着地时,经过的总路程记为Sn,则当n≥2时,下面说法正确的是( )
A.Sn<500 B.Sn≤500
700
C.Sn的最小值为
3D.Sn的最大值为400
2
100+100××2?解析:选AC.第一次着地时,共经过了100 m,第二次着地时,共经过了?3??2?2?m,…,以此类推,第n次着m,第三次着地时,共经过了?100+100××2+100×?×2?3?3??
- 2 -
2
2
100+100××2+ 地时,共经过了?3?
400??2?n-1?
3?1-?3??2?22?n-1???=100+100×?3?×2+…+100×?3?×2m.所以Sn=100+2?
1-3
n-1
2
400?1-????3??.S是关于n的增函数,所以当n≥2时,S的最小值为S,且S=700.又S=
n22n
3?n
n-1
2
100+400?1-??
??3?
二、填空题
?<100+400=500.故选AC. ?
7.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述的已知条件,可求得该女子前3天所织布的总尺数为________.
解析:设该女子第一天织布x尺, x(25-1)5则=5,解得x=,
312-1
5
(23-1)3135
所以该女子前3天所织布的总尺数为=. 312-135
答案:
31
8.(一题多解)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=________.
解析:法一:由Sn+1=Sn+an+3得an+1-an=3,
则数列{an}是公差为3的等差数列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,所以a1=1,S8
8×7
=8a1+d=92.
2
法二:由Sn+1=Sn+an+3得an+1-an=3,则数列{an}是公差为3的等差数列,S8=8(a1+a8)8(a4+a5)
==92. 22
答案:92
1
1-n?an+1,9.(2019·江西九江统考改编)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,2Sn=??3?bn=(-1)n·(log3an)2,则an=________,数列{bn}的前2n项和为________.
11
1-n?an+1①,则当n≥2时,有2Sn-1=?1-n-1?an解析:根据题意,数列{an}满足2Sn=?3?3???
1
1-n?(an+1-3an)=0,所以an+1-3an=0,即an+1=3an(n≥2).由2Sn=②,由①-②可得??3?
- 3 -
?1-1n?an+1,可求得a2=3,a2=3a1,则数列{an}的首项为1,公比为3的等比数列,所以an?3?
=3n1,bn=(-1)n·(log3an)2=(-1)n·(log33n1)2=(-1)n(n-1)2,则b2n-1+b2n=-(2n-2)2
-
-
n(1+4n-3)
+(2n-1)2=4n-3.所以数列{bn}的前2n项和T2n=1+5+9+…+(4n-3)==22n2-n.
答案:3n1 2n2-n
-
三、解答题
10.(2019·广州市综合检测(一))已知{an}是等差数列,且lg a1=0,lg a4=1. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an+bn}的前n项和. 解:(1)因为lg a1=0,lg a4=1, 所以a1=1,a4=10. 设等差数列{an}的公差为d, a4-a1则d==3.
4-1
所以an=a1+3(n-1)=3n-2. (2)由(1)知a1=1,a6=16,
2
因为a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,所以ak=a1a6=16.
又an=3n-2>0, 所以ak=4. 因为ak=3k-2, 所以3k-2=4,得k=2.
b2a2
所以等比数列{bn}的公比q===4.
b1a1所以bn=4n1.
-
所以an+bn=3n-2+4n1.
-
n(3n-1)1-4n3211n
所以数列{an+bn}的前n项和为Sn=+=n-n+(4-1).
2231-424
11.(2019·江西八所重点中学联考)设数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).
4-an
?1?
(1)求证:数列?a-2?是等差数列;
?n?
a2n(2)设bn=-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
a2n-1
4-an411111
解:(1)证明:因为an+1=,所以-=-=-=44-anan+1-2an-2an-22an-4an-2-24-an
- 4 -
相关推荐: