概率统计建模讲义

b＝0的指数分布的密度函数图像如下所示（指数密度）：

可见，随着?的减小，随机变量取到较大值的概率增加。事

1实上，?

?b是随机变量的数学期望。

指数随机变量经常用来刻画寿命。 目录 Back Next

例5、 多元随机变量

我们经常需要考虑量与量之间的关系，如果这些量是随机变量，那么就需要把多个随机变量放在一起，考虑多元随机变量。设(X1,X2,,Xn)是n元随机变量，它的分布函数是一个n元函数：

F(x1,x2,,xn)?P{X1?x1,X2?x2,,Xn?xn}

利用这个分布函数就可以讨论这n个随机变量之间各种各样的关系。

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1、 边际分布与独立性

FX(xi)?P{Xi?xi}?F(??,,xi,,??),???i?1,2,,n.i

X1,X2,,Xn相互独立当且仅当

F(x1,x2,2、 相关系数

,xn)??FXi(xi).

i?1n两个随机变量X,Y之间的相关系数定义为

cov(X,Y)?(X,Y)?,

D(X)D(Y)其中cov(X,Y)?E?(X?E(X))(Y?E(Y))?.

相关系数刻画了随机变量之间的线性相关程度，越接近于0，线性相关关系越弱。

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定理：设二维随机变量(X，Y)的相关系数为?(X,Y)，则 （1）、0??(X,Y)?1; （2）、在(X，Y)服从二元正态分布的条件下，X与Y独立的充要条件是?(X,Y)?0； （3）、若?(X,Y)?1，则几乎必然有Y?aX?b,其中a?0,a,b是确定的常数； 若?(X,Y)??1，则几乎必然有Y?aX?b,其中a?0,a,b是确定的常数。

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