D单元 数列
D1 数列的概念与简单表示法
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－，?，B?，?，抛21．H1、H10[2017·浙江卷] 如图1-7，已知抛物线x2＝y，点A??24??24?13
物线上的点P(x，y)－ 22 (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 图1-7 1 x2－ 41 21．解：(1)设直线AP的斜率为k，则k＝＝x－. 12x＋213 因为－ 2211 kx－y＋k＋＝0， 24 (2)联立直线AP与BQ的方程 93 x＋ky－k－＝0， 42 ??? －k2＋4k＋3 解得点Q的横坐标xQ＝. 2（k2＋1）1 x＋?＝1＋k2(k＋1)， 因为|PA|＝1＋k2??2?（k－1）（k＋1）2 |PQ|＝1＋k(xQ－x)＝－， k2＋1 2所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 11 －1，?上单调递增，在区间?，1?上单调递减， 所以f(k)在区间?2???2?127 因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 216 D2 等差数列及等差数列前n项和 4．D2[2017·全国卷Ⅰ] 记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 4．C [解析] 设{an}的公差为d，则2a1＋7d＝24且6a1＋15d＝48，解得d＝4. 9．D2、D3[2017·全国卷Ⅲ] 等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( ) A．－24 B．－3 C．3 D．8 2 9．A [解析] {an}为等差数列，且a2，a3，a6成等比数列，则a23＝a2·a6，即(a1＋2d) ＝(a1＋d)(a1＋5d)． 将a1＝1代入上式并化简，得d2＋2d＝0， ∵d≠0，∴d＝－2， 6×56×5∴S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24. 22 15．D2、D4[2017·全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则? k＝1n 1 ＝Sk ________． 2n15. [解析] 设公差为d，则a1＋2d＝3且4a1＋6d＝10，解得a1＝1，d＝1，所以n＋1 11k（k＋1）1 Sk＝，＝2?k－k＋1?， 2Sk?? 所以? k＝1n 1111 1－?＋?－?＋…＋ ＝2[??2??23?Sk ?1－1?]＝2?1－1?＝2n. ?nn＋1??n＋1?n＋1 10．D2、D3[2017·北京卷] 若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝a28，则＝________. b2 10．1 [解析] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.由a4＝a1＋3d＝－1＋3d＝8求得d＝3，所以a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.由b4＝b1q3＝－q3＝8求得q＝－2，所以b2＝b1q＝－1×(－a22)＝2，所以＝1. b2 19．D2、D5[2017·江苏卷] 对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”． (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列． 19．证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3， 所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差数列{an}是“P(3)数列”． (2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，① 当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④ 将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′. 在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′， 在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′， 所以数列{an}是等差数列． 18．D2、D3、D4[2017·天津卷] 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)． 18．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0. 又因为q>0，所以q＝2，所以，bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①. 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②， 联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2. 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， － 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n1， ＋ 上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n 12×（1－4n）＋＋ －4－(3n－1)×4n1＝－(3n－2)×4n1－8, 1－4 3n－2n＋18 得Tn＝×4＋， 33 3n－2n＋18 所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4＋. 33 ＋1 ＝ 20．D2、D5[2017·北京卷] 设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1，2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．
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