2017数学高考分类·理科(2017高考真题+模拟新题)D单元 数列

和为( )

A. 2017 B. 1008 C. －1008 D. －1007

3. D [解析] a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝0，…，据此可得a2017＝1, 根据规律可知，a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝a2015＋a2016＝－1，所以该数列的前2017项的和为－1007.

10. 2017·南平月考已知幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，令an＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N*，?1?

记数列?a?的前n项和为Sn，则Sn＝10时，n的值是________．

?n?11αα

10. 120 [解析] 设f(x)＝x，则2＝4，得α＝，所以f(x)＝x.an＝n＋1＋n，＝

2an

1

＝n＋1－n，所以Sn＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1＝

n＋1＋n10，解得n＝120.

7. 2017·大同月考已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π，则tan(a2＋a12)的值为( )

A. 3 B. －3 C.

33 D. － 33

π2π7. B [解析] 在等差数列{an}中，因为a1＋a7＋a13＝π，所以a7＝，所以a2＋a12＝，

33所以tan(a2＋a12)＝－3.

14. 2017·南昌一模已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n1anan＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n.

－

14. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5， 即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.

(2)由(1)可得bn＝(－1)n1·(2n－1)(2n＋1)＝(－1)n1·(4n2－1)．

－

－

∴ T2n＝(4×12－1)－(4×22－1)＋(4×32－1)－(4×42－1)＋…＋(－1)2n

1

2

·[4×（2n）－1]

222222

＝4×[1－2＋3－4＋…＋（2n－1）－（2n）]

－

＝－4×(1＋2＋3＋4＋…＋2n－1＋2n) 2n（2n＋1）

＝－4×

2＝－8n2－4n.

8. 2017·延安月考已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则1

log(a5＋a7＋a9)的值是( ) 3

11A. B. － 55C. －5 D. 5

8. C [解析] 由已知得an＋1＝3an，即数列{an}是公比为3的等比数列，a5＋a7＋a9＝(a2

1

＋a4＋a6)×33＝35，所以log(a5＋a7＋a9)＝－5.

3

3. 2017·河南六市一模观察下列三角形数表 1 第1行 2 2 第2行 3 4 3 第3行 4 7 7 4 第4行 5 11 14 11 5 第5行

… … … …

假设第n行第2个数为an(n≥2，n∈N).

*

(1)归纳出an＋1与an的关系式，并求出an； (2)设an·bn＝1(n≥2)，求证：b2＋b3＋…＋bn<2. 3. 解：(1)依题意得an＋1＝an＋n(n≥2)．

因为a2＝2，所以an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2（n－2）（n＋1）121＋＝n－n＋1(n≥2)．

2222211

<2＝2(－)，n≥2，所以b2

n－n＋2n－nn－1n1111??11?1－?]＝2?1－?<2. －＋－＋…＋?＋b3＋b4＋…＋bn<2[??12??23??n??n－1n?

(2)证明：因为anbn＝1(n≥2)，所以bn＝

2

12. 2017·华中师大附中质检设数列{an}的前n项和为Sn，且an与2Sn的等差中项为1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意的n∈N*，不等式范围．

an＋2Sn1112. 解：(1)由题意有，＝1，即Sn＝1－an，∴当n≥2时，Sn－1＝1－an－1，

222111

1－an－1?，∴an＝an－1(n≥2)． 两式相减得an＝1－an－??2?2312

当n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝. 23

1?n21?故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，∴an＝2·?3?. 33127111－

(2)由(1)可知，＝×9n1，∴＋＋…＋＝

a1a2a2a3anan＋14anan＋1

n

27279－12n－1

×(1＋9＋9＋…＋9)＝×， 448

λ111

＋ ＋ … ＋ ≥2恒成立，求实数λ的取值a1a2a2a3anan＋1an

λ111

要使对任意的n∈N*，不等式＋＋…＋≥2恒成立，

a1a2a2a3anan＋1an

nn

1279－1λ×927

1－n?对任意n∈N*恒成立． 则有×≥，即λ≤?9?4848?

127

1－n?，则f(n)在N*上递增，∴f(n)≥f(1)＝3，即实数λ的取值范围为λ≤3. 令f(n)＝?8?9?9. 2017·邵阳联考已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n1＋a(n∈N*)．

＋

(1)求a的值及数列{an}的通项公式；

?1?

??的前n项和Tn. (2)若bn＝(1－an)log3(a2·a)，求数列＋nn 1b

?n?

9. 解：(1)∵6Sn＝3n1＋a，∴当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a，

＋

当n≥2时，6an＝6(Sn－Sn－1)＝2×3n，即an＝3n1.

－

∵{an}是等比数列，∴a1＝1，则9＋a＝6，得a＝－3， ∴数列{an}的通项公式为an＝3n1(n∈N*)．

－

(2)由(1)得bn＝(1－an)log3(a2n·an ＋ 1)＝(3n－2)(3n ＋ 1)， 111111∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋

b1b2bn1×44×7（3n－2）（3n＋1）111111

＝×?1－4＋4－7＋…＋3n－2－3n＋1? 3??＝n

. 3n＋1