将新课程理念融入新教材的教学中
张学昭
新《普通高中课程方案》〔实验稿〕和《普通高中数学课程标准》〔实验稿〕〔以下简称《新课标》〕已经颁布，新一轮的高中数学教材的编写正在进行。《新课标》在原来《大纲》的基础上，与时俱进，对某些内容作了大手笔的修改和在某些认识上有所创新，使数学教育适应了时代的发展。面临着《新课标》即将实施的新形势，如何将《新课标》中有关数学教育的新理念融入到现行使用的过渡性新教材的教学中，是我们应当着重研究的问题。针对这一问题，我在实践中得到了以下几方面的体会：
一、在教学中突出高中数学的工具性作用
《新课标》指出“数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具”。数学是自然科学和其他科学的工具，是科研的工具，是日常生活的工具，作为重要的工具，它应用广泛，功能强大。在（2002年版的人教社高中数学教材）（以下简称新教材）中，新增了简易逻辑，向量，极限与导数，统计与概率等内容，更加直接、鲜明地体现了数学的工具性特点。在教材的编排上，工具性的内容也安排较前，给了学生有冲击力的印象。
在教学中，教师除了教给学生基础知识外，若能有意识的引导学生自觉地发现领会这些数学知识的工具性作用，即认识到它们都是在数学中经常用到的知识和方法，使他们从“工具”作用的角度度去学习、掌握这些知识，不仅能帮助学生构建科学、实用的思维结构，提高运用数学“工具作用”的能力，而且能促进学生在后续学习或生活中创造性地运用他们所学到的“工具”。
首先，要突出某些数学知识在数学学科内工具性的作用。 在教学中，给我感触最深地是“充要条件”的教学。
“充要条件”在老教材中安排在高二下学期《圆锥曲线》中“曲线与方程”后，在新教材中安排在第一册§1.8节。众所周知，数学学习特别重视循序渐进。新教材这样调整数学教材的用意何在呢？在进行“充要条件”的教学时，我感到困难的是，学生的掌握的知识有限，我只能用初中所学内容来举例说明，学生对“充要条件”的意义依然很难透彻深刻地理解。随着知识的深入展开，我终于有所领悟：新教材这样安排，虽然只是教会学生一个概念，但只要在后续的教学中有意识地引导学生从是否为“充要条件”的角度去考虑问题，学生就会逐步加深对“充要条件”的理解，同时能使后续学习的问题变得清晰，使学生的思考有序，提高学生的逻辑思维能力。
1?例1 已知是?钝角，cos???，求cos。
22学生解答时经常出现这样的错误： ∵?是钝角，∴?是第二象限的角，∴
?是第二象限或第三象限的角， 2
11?(?)?1?cos?2??1 ??∴ cos??2222若就事论事地去纠正学生出现的错误，常常是事倍功半，效果不佳。学习“充要条件”后，老
师引导学生观察解题过程，寻找错误原因，大部分学生能指出“?是钝角”是“?是第二象限的角”的充分不必要条件，所以由“?是钝角”得到“是第一象限的角。
此后，老师只要能在后续各章节的教学中，抓住每一个机会，有意识地引导学生从是否“充要”去考虑问题，潜移默化，学生自己学会从是否“充要”去思考问题，在转化问题时感觉到得心应手，数学学习就容易得多了。例如，在学习数列时，学生会自觉得提出：数列是等差数列的充要条件是什么？学习圆锥曲线时，学生会考虑，“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件是什么？在学习直线和平面的关系时，学生会想直线和平面垂直的充要条件是什么？这样提高了学生认识问题的高度，使学生的逻辑思维能力的提高在整个数学学习中得以落实。通过“充要条件”的教学，还让我体会到，工具性的数学内容的教学是和其他的数学知识广泛联系的，在教学中不能教完这一节内容就完事儿，对这些内容的理解掌握应用应该是循序渐进的，逐步深化的，在教学中主动留给学生思考的时间和空间是很重要的。只有这样做，才能让数学的工具性作用为学生所用。
其次，要引导学生搞清楚作为“工具”的数学知识的内涵和使用的条件，提高利用“工具”的准确性。
新教材中引入了“平面向量”和“空间向量”的概念。在学习“平面向量”时，学生体会到，利用“向量”这一工具来解决平面几何问题，简单快捷，方法容易掌握，有规律可循。平面向量开辟了与初中解决平面几何问题完全不同的新天地，它通过代数运算的方法来判定平面几何问题的位置关系，以解决角度、距离等问题。当平面向量推广到空间向量后，“向量”作为工具，用途广泛，功能强大，拓展了学生的思路。在解决立体几何问题时，既可用几何综合推理的方法，又可以用代数向量推理的方法，还可以用向量直接进行运算，学生可以根据题目的具体情况选择最合适的解法。一些比较复杂的距离、角度问题，通过向量代数推理的方法，有通法可解，客观上降低了解决问题的难度，增强了学生学习数学的自信心。
例如，在进行“夹角与距离”的教学时，运用“向量”的工具性作用，可以降低这部分学习内容的难度。但是，我又发现了这样的问题：
在学习（空间中）“夹角与距离”的问题时，很多学生在学习中发现，空间的角和空间的距离可以用统一的公式求解，只要在解题的过程中引入平面的“法向量”即可，他们把“法向量”作为“秘密武器”来使用，在解题时不假思索地用“法向量”解题，并没有仔细去体会“法向量”方法的实质，从而导致解题的错误。这种方法的实质，是将直线和“平面内两条相交直线垂直”的两个“线线垂直关系”转化为两个方程，从而确定“法向量”。它体现了待定系数思想和向量代数推理的思想。
??是第二象限或第三象限的角”的推理不成立，应22
如2003年的全国数学高考题理工科（新课程卷）第（18）题，题目中直三棱柱的底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的边长不知，由于EG⊥面ABD，可以采取与确定法向量类似的方法，列方程解得底面三角形的边长。有很多学生在解题时想当然地认为底面等腰直角三角形的腰长为1，产生错误。
在这里，如果学生并未真正领悟到“向量”工具作用的精髓，只将向量局限的理解为考试的“秘密武器”，作为机械的解题手段，不去品尝回味它的方法思想，“向量”的强大功能就无法充分地表现出来。“向量”具有几何形式和代数形式的双重身份，它的工具性特点使高中数学知识广泛地联系起来，被用于解决函数、三角、数列、复数、解析几何等各方面的问题。
再次，要引导学生将数学的“工具性”知识迁移到相关学科的学习中，在促进其它学科学习的同时，也增强对数学“工具性”知识的理解。
在学生学习物理学科的“分力与合力”及其有关计算问题时，总会遇到一些困难。“向量”的有关知识，就可以使学生对物理的这一问题迎刃而解。
数学中有关“工具作用”的知识及原理还可广泛地运用于化学、政治、语文的学习中。 总之，对作为“工具”的数学知识的教学，不仅要教给学生有关的基本性质用途，更应让学生用心去感受这种数学工具所孕育的数学精神，数学思想，让这些有生命力的思想在自己的思维中播种发芽，开花结果，最终创造性地使用工具。同时，由于“工具”的丰富，在解决问题时给了学生较多的选择，如何选择恰当的工具解决问题也是对学生数学能力考查的重要方面，它能反映出学生的数学素养。
二、在教学中突出数学的技术性
技术与工具不同。工具强调作用，技术强调具体的作法。数学中的计算技术、数据处理技术、图表描绘和处理技术、优化技术、推理技术等等，直接为社会创造价值，为人类服务。在新教材中，新增加的内容“研究性课题：分期付款中的有关计算”，“概率统计”，“空间图形的斜二测画法”，“简单的线性规划”等等，使得数学的技术性表现得更具体。
以“研究性课题：分期付款中的有关计算”的教学为例。分期付款中的计算问题比较复杂，在新教材中对计算的算理算法有明确的说明，使分期付款的解决有了明确的步骤。在教学中利用等比数列的求和公式来计算分期付款中每期应付的款项，学生会发现由于切入问题的角度不同，在相同的算理下可以获得不同的运算途径。由于不同算法的存在，学生会自觉的比较解决同一问题的不同算法的效率。在教学中，一方面可以使用计算器来计算不同方式的分期付款购买同一套房所付款项的精确结果，如利用TI-83 PLUS的金融数学功能或TI-92 PLUS的数列功能，都能轻松地获得精确结果；另一方面，我们也鼓励学生对要求的结果进行估算，以给精确结果提供快速的检验。这样学生有机会亲自用计算器解决问题，熟悉计算器的功能和操作；估算的训练，增强了学生的数感，提高了学生的洞察力。在学习“研究性课题：分期付款中的有关计算”的小结中，有学生这样写到“以前我总觉得数学中的运
算呆板机械不用思考，在学习分期付款中的有关计算后，我发现在计算时如果能思考计算的合理性，用思考指导计算，计算就不会呆板机械，计算也会变得有技巧有内涵有生机。”通过“研究性课题：分期付款中的有关计算”的教学，学生意识到算理算法的重要性，在解决问题时会先考虑算法的合理性再实施计算。他们会用程序框图表示自己的算法，比如在研究直线与圆锥曲线的关系时。在现实经济生活中，学生有了估算的意识，有了算理算法的意识，计算能力提高了，思维品质也得以优化。
新课标中提到“与时俱进地认识双基”，我认为加强学生的算理算法的意识就是新时代的“双基”的重要内容之一。正是有了类似这样醒目的技术性的数学知识，学生才更容易认识数学的本质。
数学的技术性还体现在完成任务的可操作性方法的正向迁移上。以“函数的图象及性质”的教学为例：在教学时先教全体学生使用“几何画板”，让在初中已经接触过“几何画板”的学生当“小老师”指导大家熟悉“几何画板”，再让学生用描点作图的方法画出函数的图象。从画出的函数图象分析学习函数的性质，学习函数的单调性，奇偶性，周期性等；在学习函数的性质后，反过来引导学生用函数的性质来指导画图。在作图中以函数的性质为依托又可以介绍图象的变换，如对称、平移、伸缩等。这样在后面学习“三角函数的图象和性质”、“圆锥曲线”时，学生就可以运用已获得的作图知识、图形计算器自主地展开学习了。
三、在教学中注意数学课程的多样性和选择性
新课程的最高宗旨和核心概念——“一切为了每位学生的发展”。在数学新课标中提出了“高中数学课程应具有多样性和选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展”，给我留下了深刻的印象。
以往学习老教材，为了在高考中获得高分，在教学中，只要高考要考的内容，我们往往不分对象都要学生掌握，能理解的最好，不能理解的就通过题海战术强化训练。
新课标中，高中数学课程除了必修系列外，还有满足学生不同数学需求的选修系列课程。在新教材中，新增了“阅读材料”，“研究性学习”等内容，作了这方面的初步探索。在新教材的教学中，受新课标的影响，我改变了以前以“高考为指挥棒”的旧观念，在教学中尊重学生差异，努力做到以人的发展为本，让不同的学生学不同的数学。
对于正常教学班的学生，在教学中严格按照新大纲的要求，满足所有学生的共同数学需求。除了正常的教学和数学竞赛班的教学外，在教学中，只要学生感兴趣，通过与他们交流，引导他们开展其他形式的更深入更有针对性的数学学习。例如开展研究性学习就是最有效的方式之一。有一些学生对数学高考题很感兴趣，我就帮助他们确定了研究性学习的课题“近十年数学高考题分类详解”，题目很大，我为他们提供历年的高考题，学到哪儿就分析到哪儿，从知识点、方法、思想的角度去认识把握，遇到困难大家一块儿讨论后分头解决，再汇合，取长补短，现在这几位学生已经上高三了，数学成绩都名列前茅。有的学生在家里装修时提出了拼地板的问题，用四边形、用五边形、用六边形、用圆形、用梯形的材料去铺地板，不同的材料造价不同，怎样铺才能作到既美观有经济，有兴趣的学生聚在一起组成了又一个研究性学习小组。
在学生提出问题时，抓住时机介绍一些数学小册子和数学普及书籍给学生看，肯定学生的数学学习热情，激发学生进行数学探索的欲望，使他们感受到数学的美魅力，让课堂上“吃不饱”的学生有更丰富的学习资料。这也是一种有效的教学方法。在学习“不等式”时，因为新教材中已增加了“导数”的内容，所以对“不等式”的要求不高。在教学中，有学生看了“阅读材料”以后对三个正数的均值不等式，N个正数的均值不等式很感兴趣，我介绍了小册子《不等式的证明》给他们学习，他们不仅了解了均值不等式的证明，而且系统的了解了不等式的证明方法，更有同学又提出了进一步了解数学归纳法的要求，根据他提出的问题，我介绍了G-Polya的一系列书籍如《怎样解题》，《数学的发现》，《数学中的合情推理》等，让他们感受猜想，证明的数学方法。在教学中，在合适的时机推荐合适的书籍给学生读，学生都会很乐意的去做这样的学习。阅读这些书籍不仅能开拓学生的视野，丰富学生的数学知识，满足不同层次的学生的需要，也提高了学生的数学积累和数学修养。除了阅读书籍以外，通过数学网站获取自己想要的问题解答，展开数学讨论也是学生进行数学学习的一种有效途径。
通过实践，我发现只有在教学中尊重学生差异，以人的发展为本，让不同的学生学不同的数学，才能使每个学生的数学学习潜能最大地发挥出来，也才能最大限度地使学生的数学学习服务于他的发展。
《新课标》还提出了许多新的数学教学的理念，结合现行新教材，自觉地将这些理念运用于新教材的教学实践中，从而积累经验，可以为《新课标》的全面实施奠定良好的基础，以全面提高高中数学教学效益和质量。
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