限时规范训练二十 不等式选讲 限时30分钟，实际用时________ 分值40分，实际得分________
解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)
1．(2017·吉林长春调研)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
122
(2)当x∈M∩N时，证明：xf(x)＋x[f(x)]≤.
4
??3x－3，x∈[1，＋∞?，
解：(1)f(x)＝?
?1－x，x∈?－∞，1?.?
2
4
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，
34
故1≤x≤；
3
当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1. 4
所以f(x)≤1的解集M＝{x|0≤x≤}．
3
?1?22
(2)证明：由g(x)＝16x－8x＋1≤4得16?x－?≤4，
?4?
13132解得－≤x≤，因此N＝{x|－≤x≤}，
44443
故M∩N＝{x|0≤x≤}．
4
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－?x－?2≤.
2
1?4?
1?
?
14
2．(2017·江南十校联考)设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M. 111
(1)证明：|a＋b|＜；
364
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由． 解：(1)证明：设f(x)＝|x－1|－|x＋2| 3，x≤－1??
＝?－2x－1，－1＜x＜1??－3，x≥1
11由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜，
22
?11?则M＝?－，?. ?22?
111111?11?1
所以?a＋b?≤|a|＋|b|＜×＋×＝. 632624?36?31122
(2)由(1)得a＜，b＜. 44
因为|1－4ab|－4|a－b|＝(1－8ab＋16ab)－4(a－2ab＋b)＝(4a－1)(4b－1)＞0， 所以|1－4ab|＞4|a－b|，故|1－4ab|＞2|a－b|. 3．(2016·高考全国卷Ⅲ)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式已知函数f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥ |2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
1
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. ①
2当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解． 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．
4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x－x＋m的解集非空，求m的取值范围． －3 x<－1，??
解：(1)f(x)＝?2x－1， －1≤x≤2，
??3， x>2.当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1， 解得1≤x≤2；
当x>2时，由f(x)≥1，解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}． (2)由f(x)≥x－x＋m，得
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x＋|x|
2
2
3?255?＝－?|x|－?＋≤， 2?44?
352
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x＋x＝，
245??故m的取值范围为?－∞，?.
4??
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