∴AK=AB．
易证△APB≌△APK， ∴PK=BP=x， ∴GK=PG-PK=4-2x．
在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK+AK=AG， 即：（4-2x）+2=（4-x）， 整理得：x-8x+4=0， 解得：x=或x=2， ∴BP的长为或2．
点评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法． 【达标检测】
1. 如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
2
2
2
2
2
2
2
A．
考点： 等腰梯形的性质；中点四边形．
分析： 首先连接AC，BD，由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH，FG，EF，GH是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案． 解答： 解：连接AC，BD， ∵等腰梯形ABCD的对角线长为13， ∴AC=BD=13，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，
∴四边形EFGH的周长是：EH+EF+FG+GF=26．
13 B．
26 C．
36 D． 39
故选B．
点评： 此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
2. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长为 ．
第1题图
考点： 等腰梯形的性质．
分析： 首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形ABED是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到△BCE的周长．
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠D=∠C=45°， ∵EB∥AD， ∴∠BEC=45°， ∴∠EBC=90°， ∵AB∥CD，BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB=DE=1， ∵CD=3， ∴EC=3﹣1=2， ∵EB+CB=EC，
2
2
2
∴EB=BC=，
∴△BCE的周长为：2+2， 故答案为：2+2．
点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等．
3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 ．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形．
解析：首先延长BA，CD交于点F，易证得△BEF≌△BEC，则可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF的面积，继而求得答案．
解答：解：延长BA，CD交于点F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBF=∠EBC， ∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°， 在△BEF和△BEC中， ，
∴△BEF≌△BEC（ASA）， ∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2， ∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4， ∵CE：ED=2：1 ∴DF：FC=1：4， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△BCF， ∴=（）2=，
∴S△ADF=×4=，
∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=． 故答案为：．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．
考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．.
解析：利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长． 解答：解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1， 在△ABH中，∠B=30°，AB=2， ∴cos30°=，
即BH=ABcos30°=2×=3， ∴BC=BH+BC=4， ∵CE⊥AB， ∴CE=BC=2．
点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键．
5. 已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD∥BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60°，动点P在线段BC上运动（ 点P不与B、C点重合），并且∠APQ=60°，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x，
（1）求下底BC的长．
（2）求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少？ （3）在（2）的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长．
11．解：（1）如图1，过点D作DE∥AB，交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE=AD=3，DE=AB=DC=2， ∵DE∥AB， ∴∠DEC=∠B=60°， ∴△DEC为等边三角形， ∴EC=DC=2， ∴BC=BE+EC=3+2=5；
（2）如图2，在△CPQ与△BAP中，
∵，
∴△CPQ∽△BAP，
∴CQ：BP=CP：BA，即y：x=（5-x）：2，
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