把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF为AB和CD所成的角，F为正方体一棱的中点． ∴EF＝GF＝
5
2，EG＝2. ∴cos∠EGF＝
105
. 5．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
A．25π cm2 B.77π
2 cm2 C．77π cm2 D．144π cm2
答案 C
解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示．由题意得
V＝11
3×2×h×5×6＝20?h＝4.
从而易知，其外接球的半径为 r＝
12227724＋5＋6＝2
. 从而外接球的表面积为S＝4πr2＝4π(772
)2
＝77π.选C. 6．如下图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22
，E为侧棱PC的
PA与BE所成的角为 ( )
A.π6 B.πππ4 C.3 D.2 答案 C
解析 连接AC、BD交于点O，连接OE，易得OE∥PA. ∴所求角为∠BEO. 由所给条件易得OB＝
62，OE＝12
2PA＝2
，BE＝2. ∴cos∠OEB＝1
2
，∴∠OEB＝60°，选C.
7．直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是 ( )
(
中点，则
A．AB1∥平面BDC1 B．A1C⊥平面BDC1
C．直三棱柱的体积V＝4 D．直三棱柱的外接球的表面积为43π 答案 D 解析
由三视图可知，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正确．
直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， ∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D为AC的中点， ∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C. ∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B， ∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥B1C.
∵BC1⊥B1C，且BC1∩B1C＝0，∴BC1⊥平面A1B1C. ∴BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面BDC1.
故B正确．V＝S×C1
△ABC1C＝2
×2×2×2＝4，∴C正确．
此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D错误．故选D.
8．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是 A．22πR2 B.9πR2 C.85
3πR2 D.2πR24
答案 B 解析
如图所示，为组合体的轴截面，由相似三角形的比例关系，得
(
PO1x
＝，PO1＝3x，圆柱的高为 3RR
3R－3x，所以圆柱的全面积为 S＝2πx2＋2πx(3R－3x) ＝－4πx2＋6πRx，
3
则当x＝R时，S取最大值，
49Smax＝πR2.
4
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 9．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.
其中真命题的序号是________． 答案 ②③
解析 若α⊥β，m∥α，则m与β可能相交、平行或m在平面β内，故①错；m∥α，n∥β，m∥n，则α与β可能平行，可能相交，故④错．
10．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________． 答案
73
π 3
解析 上底半径r＝1，下底半径R＝2. ∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π. ∴l＝2，∴高h＝l2－?R－r?2＝3. 173∴V＝π·3(1＋1×2＋2×2)＝π.
33
11．(2011·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，________m3.
答案 4
解析 由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，因此该几何
宽，高分别是2,1,1，此体的体积
则该几何体的体积为
V＝2×1×1＋2×1×1＝4(m3)．
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为
答案 1
解析 依题意得三棱锥P－ABC的主视图与左视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积之比等于1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13．(本小题满分10分)下图为一简单组合体，其底面ABCDABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.
(1)请画出该几何体的三视图；
为正方形，PD⊥平面
A1B1C1D1内一动________．
(2)求四棱锥B－CEPD的体积．
解析 (1)该组合体的三视图如下图所示．
(2)因为PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE， 所以平面PDCE⊥平面ABCD. 因为四边形ABCD为正方形， 所以BC⊥CD，且BC＝DC＝AD＝2.
又因为平面PDCE∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面PDCE.
因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD， 所以PD⊥DC.
又因为EC∥PD，PD＝2，EC＝1， 所以四边形PDCE为一个直角梯形，其面积 11
S梯形PDCE＝(PD＋EC)×DC＝×3×2＝3.
22所以四棱锥B－CEPD的体积
11
VB－CEPD＝S梯形PDCE×BC＝×3×2＝2.
33
14．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，点．
(1)证明：PB∥平面ACM； (2)证明：AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
解析 (1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.
ABCD为平行四边形，PO＝2，M为PD的中
(2)因为∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1，
所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，
AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
1
(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，
21
得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO
2
相关推荐：
loading