高二数学作业2（立体几何）

＝

515MN145.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为224AN5

54

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5

. 15．(2010·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

解析 (1)证明 因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，由∠BCD＝90°，得BC⊥DC. 又PD∩DC＝D， 所以BC⊥平面PCD.

因为PC?平面PCD，故PC⊥BC.

(2)方法一 分别取AB，PC的中点E，F，连接DE，DF. 易证DE∥BC，DF⊥PC，则DE∥面PBC. ∴点D，E到面PBC的距离相等．

∴点A到面PBC的距离为点D到面PBC的距离的2倍． 由(1)知BC⊥面PCD，∴面PBC⊥面PCD. 又DF⊥PC，∴DF⊥面PBC. ∵PD＝DC＝1，∴DF＝

2

2

. ∴点A到面PBC的距离为2. 方法二

连接AC，设点A到面PBC的距离为h. ∵AB∥DC，∠BCD＝90°， ∴∠ABC＝90°. 由AB＝2，BC＝1，

得S11

△ABC＝2AB×BC＝2×2×1＝1.

∵V111

P－ABC＝3S△ABC·PD＝3×1×1＝3，

又VP－ABC＝VA－PBC，

∴1113S·h＝3，即3×12×1×2h＝1

△PBC3，解得h＝2. ∴点A到面PBC的距离为2.

16．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝BC＝2.

(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长． 解析 (1)方法一 证明：∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°， ∴B1C1⊥A1C1.

又由直三棱柱的性质知B1C1⊥CC1，

ABCD，PD＝DC

所以PD⊥BC. ＝90°，2AC＝AA

∴B1C1⊥平面ACC1A1.∴B1C1⊥CD.① 由D为AA1的中点，可知DC＝DC1＝2.

2

∴DC2＋DC21＝CC1，即CD⊥DC1.②

由①②可知CD⊥平面B1C1D.

又CD?平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D.

(2)解：由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或其延长线于E，连接EB1， ∴∠B1EC1为二面角B1－DC－C1的平面角． ∴∠B1EC1＝60°.

223由B1C1＝2知，C1E＝＝.

tan60°3设AD＝x，则DC＝x2＋1.

123

∵△DC1C的面积为1，∴·x2＋1·＝1.

23解得x＝2，即AD＝2.