四奥第11讲 稍复杂的相遇和追及问题

第十一讲 稍复杂的相遇和追及问题

知识要点

行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型（计算、数论、几何、行程）之一，在历年各类小学奥数竞赛试题中都占有很大的比重，具体题型变化多样，形成十多种题型，都有各自相对独特的解题方法。同时也是小学奥数专题中的难点，较复杂的行程问题经常作为试卷中的压轴难题出现。

行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，所有行程问题都是围绕“路程=速度×时间”这一基本关系式展开的。本讲主要涉及两大典型行程题——相遇问题和追及问题，在学习时需多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用。

教学课时：两课时 教学目标：

1.使学生掌握通过画线段图分析二次相遇问题的整体数量关系

2.使学生学会读题，能够透过现象看到条件的本质，找到个体的对应三个量之间的关系。 3、培养学生主动挖掘条件本质的能力，提高解决实际问题的信心。 教学重难点：

通过审题，能够从整体找出所有运动人三量之间的关系，同时从局部找到每一个运动人自己三两之间的关系。

教具准备：动画展示。 本周通知：

教学过程： 1、故事导入

师：相信“龟兔赛跑”的故事同学们都听过吧！最终谁是获胜者？ 生：乌龟~~~（这里老师也可以请一位同学来将这个故事，作为引入）

师： 据了解兔子每分钟大约能跑400米，乌龟每分钟大约只能跑5米。被公认为赛跑高手的兔子怎么会输给乌龟的呢？

生：因为兔子在比赛过程中睡着了~O(∩_∩)O哈哈~

师：没错~~根据老师的调查，途中乌龟和兔子相遇了一次，兔子正呼呼大睡，乌龟见了差点笑出声来，不过它还是忍住了，否则，惊醒了兔子，相信结果就不会是这样的了！最终，乌龟比兔子早2分钟行完了2000米的全程，获得了胜利。兔子先生特别懊恼，关在家里不停地计算自己到底睡了多长时间，可是始终没有答案。在座的各位同学，你们能不能帮帮他？

生：想要帮助他，但是。。。我也不会计算。。。。

师：没关系，只要大家今天和老师一起认真的学习和探究这堂课，相信你们一定能解答兔子先生心中的疑惑~

（板书课题--稍复杂的相遇和追及问题）

2、新课学习

师：大家还记不记得，在我们行程问题中，经常遇见的两个人是谁？ 生：小明，小红，甲，乙。。。。。

师：对！就是甲乙这两个让我们头痛的人。

那你们还记不记得他们俩总是在哪两个地方不知疲倦的奔走啊？ 生：A地，B地！！

师：很好~~就是甲乙这两个人，在这AB 之间发生非常多的故事，在这些故事中有三个量特别重要，是哪三个？

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生：时间，速度，路程。

师：对，这三个两也有着千丝万缕的关系，有没有同学能上来写出他们之间的关系？ 生：举手，板书：路程=速度×时间

师：当甲乙相遇的时候，我们又知道什么关系式？追及问的时候呢？

生：举手，板书：相遇路程=速度和×相遇时间，追及路程=速度差×追及时间 师：在一起复习完这些公式后，让我们来看看甲乙今天又有什么新的故事发生。

例题精讲

例1、A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从A、B两地相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞回去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？

分析:整体：相遇问题，甲乙两人与燕子行驶时间相同，甲乙两人的行驶路程之和为一个全长。 局部：甲：速度为35千米/时 乙：速度为45千米/时 燕子：速度为50千米/时

由分析可知：要求燕子的路程，首先要知道燕子的时间。燕子飞行时间与甲乙行驶时间相同。 则 燕子的行驶时间：480÷（35＋45）=6(小时) 燕子的行驶路程：50×6=300（千米）

例2、甲、乙两车同时从两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米。两车相遇时，甲车正好走了300千米，两地相距多少千米?

分析：题目告诉了甲乙的速度，就可以求出速度和，求路程和，还缺相遇时间，相遇时间怎么求呢，还告诉了一个条件就是两车相依时甲车走了300千米，那么通过这个条件可以求出相遇时间就是：300÷50=6小时

所以两地的路程：（50+60）×6=660千米

例3、两个车站相距380千米，甲、乙两车分别从两站同时对开，经4小时相遇，甲车比乙车每小时快5千米，求甲、乙两车每小时各行多少千米？

分析：根据路程÷相遇时间=速度和可以发现，

告诉了路程和相遇时间，那么速度和为：380÷4=95千米 通过和差问题可以求出甲车速度为：（95+5）÷2=50千米 乙车的速度为：50-5=45千米

例4、姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了多少米？

分析：整体：相遇问题，姐妹行走的总路程为两个全长（可画线段图解说），姐妹行驶时间相同。

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局部：姐姐：速度为160米/分钟； 妹妹：速度为60米/分钟。 由分析知：相遇路程（2个全长）=速度和×时间

时间=相遇路程（2个全长）÷速度和=770×2÷﹙60＋160﹚=7（分钟）

例5、甲、乙两辆汽车，同时从东西两地相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，求东西两地相距多少千米？

分析：整体：相遇问题，甲乙行走时间相同； 局部：甲：速度每小时56千米，相遇时走的路程多

乙：速度每小时48千米，相遇时走的路程少

由题目可知，（可以画线段图，更清晰表示出甲乙的路程差）甲比乙多行走 32×2=64﹙千米﹚，而每小时甲比乙多行走56－48=8﹙千米/时﹚

则 甲乙一起行走思维时间是：64÷8=8﹙小时﹚ 所以相遇路程为：﹙56＋48﹚×8=832﹙千米﹚ 这道题思想上也可以转换为追及问题来解答。

例6、甲、乙两人从B城去A城，甲的速度为每小时5千米，乙速度为每小时4千米。甲出发时，乙已先走了3个小时。甲走了10千米后，决定以每小时6千米的速度前进。问几小时后甲追上乙？

分析：整体：追及问题，行驶时间不同，追及路程也不知。 局部：甲：速度为5千米/时 乙：速度为4千米/时 （这一题画线段图更清晰）

既然是追及问题，先找出追及路程：前3个小时：甲行0千米，乙行3×4=12（千米）， 甲走10千米这一段：甲行 10千米，乙行 10÷5×4=8（千米） 则 甲乙的路程差：（12＋8）－﹙0＋10﹚=10（千米） 追及时间：10÷（6－4）=5（小时）

例7、甲乙两人同时由A地出发到B地，甲骑车每分钟行190米，乙步行每分钟行90米，甲骑车到B地后立即返回A地，在离B地350米处与乙相遇，求AB两地之间的距离是多少千米？

分析：引导学生画示意图，由图可以发现，甲乙的路程差是：350×2=700米

通过路程差÷速度差=时间可得：700÷（190-90）=7分钟

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而这个时间正好就是甲乙的相遇时间，所以全程的距离=乙的路程+350

所以两地间的距离为：90×7+350=980米

例8、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇。相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，A、B之间的距离是多少？

分析：甲乙每一起行驶一个全程，则乙车行驶64千米。

从开始出发到第二次相遇，甲乙一起走了三个全程，那么乙走了64×3=192（千米），根据线段图得，乙从开始到第二次相遇一共走了一个行程还多48千米，则全程=192－48=144（千米）。

这题一定要画线段图啊亲~~

3、课堂小结

今天我们学习了稍复杂的追及和相遇问题，我们知道了，在故事发生过程中，首先我们要从整体把握所有运动人三个量之间的关系，然后再找到每个人各自对应的三个量，从问题出发往上寻找，从条件出发往下寻找，找到对应关系，解决问题。 4、作业

课堂作业：练习1、3、4、5、8 家庭作业：练习2、6、7、9、10 5、板书设计

稍复杂的相遇和追及问题

解题步骤： 例题： ①

②

练习巩固

1、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一条狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝着甲这边跑，碰到甲的时候，它又掉头朝着乙这边跑。直到两人相遇时，这只狗一共跑了多少千米？

100÷（6＋4）×10=100（千米）

2、甲、乙两艘轮船同时从两地相向开出，甲船每小时行40千米，乙船每小时行60千米。两船相遇时，甲船正好走了200千米，两地相距多少千米?

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