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数学九年级上册知识点总结
第一章 特殊的平行四边形复习
中考考点综述：
特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多
样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标
掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：
1.矩形、菱形性质及判定的应用 2. 相关知识的综合应用 知识点归纳
边 性 角 质 对角线 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. 菱形 对边平行，四边相等 对角相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 正方形 对边平行，四边相等 四个角都是直角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一·是矩形，且有一组邻边相等； 组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 ·是平行四边形且两条对角线互相垂直。 既是轴对称图形，又是中心对称图形 对称性 一．矩形 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】 矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角；
性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
矩形的判定
矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．
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注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等
矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形． 矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60，则该矩形的面积为 例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）
A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，?H， ?求证：?四边形EFGH是矩形．
0
二．菱形 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．
例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
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例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．
例
3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别
交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.
AE1DOB2FC
例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M， 若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。
A B E M C D
例5． （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． DC(1)求线段BE的长．
O 60? AEB
例6、（2011四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交
BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
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例7、（2011山东烟台）
如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
三．正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 正方形的判定方法：
? (1)有一个角是直角的菱形是正方形；
? (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． ? 注意：1、正方形概念的三个要点： ? （1）是平行四边形；
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