全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）
以解析几何中定点、定值为背景的解答题
【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求\变中有不变的量\一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 类型一 定值问题
x2y2典例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率
ab为
2，左焦点F??2,0?，直线l:y?t与椭圆交于A,B两点， M为椭圆上异于A,B的2点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M??6,?1?，以AB为直径的圆P过M点，求圆P的标准方程； （3）设直线MA,MB与y轴分别交于C,D，证明： OC?OD为定值.
x2y21?70【答案】（1）??1（2）x2??（3）见解析 y????843?9?2【解析】
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（2）设A?s,t?，则B??s,t?，且s2?2t2?8.① ∵以AB为直径的圆P过M点 ∴MA?MB ∴MA?MB?0，
又∵MA??s?6,t?1?， MB???s?6,t?1? ∴6?s2??t?1??0.②
由①②解得： t?，或t??1（舍） ∴s2?70. 9AB?s， 2132又∵圆P的圆心为AB的中点?0,t?，半径为
1?70∴圆P的标准方程为x??. y????3?9?22（3）设M?x0,y0?，则lMA的方程为y?y0?件.
令x?0得yC?∴
OC?ODt?y0?x?x0?，若k不存在，显然不符合条s?x0?tx0?sy0?tx?sy0；同理yD?0， s?x0?s?x0
?tx0?sy0?tx0?sy0?yC?yD??s?x0?s?x0
2222t2x0?s2y0t2x0?s2y0?? 2222x0?xx0?s
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?22t28?2y0?8?2t2y0202????8?2y??8?2t?28t2?8y0?4为定值. ?222t?2y0【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．
【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy1232?x2y2中，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离
ab?1，心率为，且过点? A,B为椭圆上关于原点对称的两点，??. F为椭圆的右焦点，
?连接AF,BF分别交椭圆于C,D两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF?FC，求
BF的值； FD⑶设直线AB， CD的斜率分别为k1， k2，是否存在实数m，使得k2?mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
x2y275【答案】（1）??1（2） （3）m?
4333【解析】
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3?3??B?1,?（2）若AF?FC，由椭圆对称性，知A?，所以1,??， ??22????此时直线BF方程为3x?4y?3?0，
3x?4y?3?0,由{x213 ，得7x2?6x?13?0，解得x?（x??1舍去）， y27??1,43故
BF1???1?7??． 13FD?137（x0,y0)，则B??x0,?y0?， （3）设Ax2y2y0直线AF的方程为y??x?1?，代入椭圆方程??1，得
x0?14322 ?15?6x0?x2?8y0?15x0?24x0?0，
因为x?x0是该方程的一个解，所以C点的横坐标xC?又C?xc,yC?在直线y?同理， D点坐标为(8?5x0， 5?2x0y0y?3y0， ?x?1?上，所以yC?0?xc?1??x0?1x0?15?2x08?5x03y0)， ，
5?2x05?2x0
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