第三单元 导数及其应用单元测试
【满分：100分 时间：90分钟】
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)
1．（云南省玉溪市第一中学2019届调研）函数f(x)?x2lnx的最小值为（ ）
1A．?
e【答案】C
1B．
eC．?1 2eD．
1 2e1【解析】由题得x?(0,??)，f'(x)?2xlnx?x?x(2lnx?1)，令2lnx?1?0解得x?e?2，则当
?x?(0,e)时f(x)为减函数，当x?(e,??)时，f(x)为增函数，所以x?e2点处的函数值为最小值，代入
12?12?121函数解得f(e)???1，故选C。 2e2．（山东省聊城市2019届三模）函数f(x)??2x?lnx的图象在x?1处的切线方程为（ ） A．x?y?1?0 【答案】A 【解析】
当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得f?(x)??2?B．x?y?1?0
C．2x?y?1?0
D．2x?y?1?0
11,?k?f?(1)??2???1， x1(x-1), 所以切线方程为y+2=-1·即：x?y?1?0 故选A。
3．（广东省揭阳市2019年二模）以下四个数中，最大的是（ ） A．ln33 【答案】B
【解析】由题意，令f?x??B．
1 eC．
lnπ πD．15ln15 301?xlnx，则f??x??2， xx所以x?e时，f??x??0，∴f?x?在(e,??)上递减，
又由e?3???15，∴f?e??f?3??f则
1e13131????f(15)，
1530lne?ln3?ln??ln??ln15?ln15?115，
即
1ln?15?ln33??ln15， e?30故选B。
4．（河北省石家庄市2019届模拟）已知当m，n??1,1时，sin确的是（ ） A．m?n C．m?n 【答案】C
【解析】由题意，设f?x??x?sin3???m2?sin?n2?n3?m3，则以下判断正
B．m?n
D．m与n的大小关系不确定
?x22，则f??x??3x??2cos?x2，
当x?[?1,1]时，f??x??0，f?x?单调递增， 又由m?sin3?m2?n3?sin?n2，所以f?m??f?n?，即m?n，故选C。
5．（辽宁省朝阳市重点高中2019届模拟）已知函数f(x)?[x]（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数g(x)?e?eA．
x?x?2的零点为x0，则g??f?x0????（ ）
B．-2
C．e?1?e?2 e1?2 eD．e?21?2 2e【答案】B
【解析】因为g(x)?e?e即函数g(x)?e?e00x?xx?x?2，所以g?(x)?ex?e?x?0在R上恒成立，
?2在R上单调递增；
1?1又g(0)?e?e?2??2?0，g(1)?e?e?2?0 所以g(x)在(0,1)上必然存在零点，即x0?(0,1)， 因此f(x0)??x0??0， 所以g??f?x0????g(0)??2. 故选B。
fx）f2）?6．（甘肃省兰州市第一中学2019届模拟）定义在上的函数（满足x2f?(x)?1?0，（（0，+?）5，2flnx）?则关于x的不等式（A．(e2,??) 【答案】A
1?2 的解集为( ) lnxC．(e,e2)
D．(1,e2)
B．(0,e2)
11x2f?(x)?1【解析】令g(x)?f(x)?(x?0)，则g?(x)?f?(x)?2?， 2xxx因为x?0时，xf?(x)?1?0，
21x2f?(x)?1所以g?(x)?f?(x)?2??0， 2xx1在上单调递增； （0，+?）x51f2）?，所以g(2)?f(2)??2； 又（2211flnx）??2， flnx）??2得（由（lnxlnx所以g(lnx)?g(2)，
即函数g(x)?f(x)?因此，lnx?2，解得x?e2. 故选A。
7．（湖南省长沙市第一中学2019届模拟）若不等式lnx?值范围是（ ） A．[?,??) 【答案】A
【解析】设t?lnx?11?m?m?e对x?[,1]成立，则实数m的取xe12B．(??,?]
121C．[?,1]
2D．[1,??)
?1?1，由x??,1?， x?e?则t??11x?1?1??2?2在x??,1?上t??0恒成立， xxx?e?1单调递减，则t?[1,e?1]； x∴t?lnx?当m?e时，|t?m|max?e?1?m?m?e， 21解得：m??；
2当m?e时，|t?m|max?m?1?m?e，恒成立； 2121?1??m?m?e对x??,1?成立. x?e?综上知：当m?[?,??)时，不等式lnx?故选A。
8．（2019年山西省忻州市一中模拟）定义在R上的可导函数f?x?满足f?1??1，且2f'?x??1，当
x3??3??x???,?时，不等式f(2cosx)?2sin2?的解集为( )
22?22?A．???4?,?33?? ?B．????4?,?33?? ????C．?0,?
?3?
D．??????,? ?33?【答案】D
【解析】令g(x)?f(x)?111x?，则g'(x)?f'(x)??0， 22211?g(x)在定义域R上是增函数，且g(1)?f(1)???0，
221x3?g(2cosx)?f(2cosx)?cosx?=f(2cosx)?2sin2?，
222x3?f(2cosx)?2sin2??0可转化成g(2cosx)?g?1?，得到
222cosx?1，又Qx???故选D。
??3??????,?，可以得到?x???,? ?22??33?9．（湖南省长沙市第一中学2019届模拟）已知函数f(x)??x?1?a(?x?e,e是自然对数的底数）与
31eg(x)?3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0,e3?4] 【答案】A
【解析】根据题意，若函数f(x)??x?1?a（上存在关于x轴对称的点，
3B．[1,e3?4] C．[1,e3?3] D．[e,e3?3]
1?x?e，e是自然对数的底数）与g(x)?3lnx的图象e
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