高二下学期期末考试数学试题
所以f(?)?cos2(???3)cos???7142346?7?sin2(??)sin??????. 333929218………………14分
17（理）解：（1）当n?1时，1?(3a1?22)，又an?0，所以a1?1， 2当n?2时，1?2?(33a2?32)，解得a2?2， 2a3?42)，解得a3?3.………………………………2分 2当n?3时，1?2?3?(333(2)猜想：an?n.……………………………………………………………………4分 证明：（1）当n?1时，由（1）可知结论成立；………………………………6分 （2）假设当n?k时，结论成立，即ak?k成立，………………………8分 则n?k?1时，
由1?2?33?a(k?1)?33?k3??k?与1?2?2??2232?a(k?2)??(k?1)3??k?1?，
2??222?a(k?2)??ak(k?1)??ak?1(k?2)??k(k?1)?所以(k?1)??k?1?， ?????????2222????????所以ak?1(k?2)?4(k?1)?k(k?1)?(k?1)(4k?4?k)， 又an?0，ak?1?k?1成立，…………………………………………12分 根据（1）、（2）猜想成立.………………………………………………14分 （文）证明：（1）假设函数f(x)为奇函数，则f(0)?0，
这与f(0)?k?0?cos0?(2k?1)?0?1矛盾，
所以函数f(x)不可能是奇函数.…………………………4分
22232222解：（2）当k?112时，f(x)?x?cosx， 22所以f?(x)?x?sinx，f??(x)?1?cosx?0， 所以f?(x)在R单调递增，………………………10分
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又f?(0)?0，
所以不等式f?(x)?0的解集为(0,??)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,??).…………………………14分 18.解：（1）因?PAB与?PBA的正切值之比为1:3，
所以
PHPH:?1:3，所以PA:PB?3:1，即PA?6,PB?2，……………2分 PAPB22，MQ?，…………………………………4分 sin?tan?因PQ?2，所以PM?所以L?1000(AN?MN?MP)?500(BN?MN?MP)，
所以L?1000m(6?2222?0.05?)?500m(2??0.05?)， tan?sin?tan?sin?31??)，??(0,).……………………………7分 sin?tan?23?cos?)，
sin?化简得L?7075m?1000m(（2）由（1）知L?7075m?1000m(所以L??1000m?(3?cos?)?sin??(3?cos?)(sin?)?， 2sin?1?3cos?，
sin2?1，……………………………………………………………10分 3化简得L??1000m?由L??0，得cos??令cos?0?1?，且?0?(0,)， 321?1，L??0；当??(?0,)时，cos??，L??0； 323当??(0,?0)时，cos??所以函数L(?)在(0,?0)上单调递减；在(?0,?)上单调递增； 2 12
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所以???0时函数L(?)取最小值，即当cos??1时，符合建桥要求，……………14分 3答：（1）L?7075m?1000m(31??)，??(0,)； sin?tan?2（2）当cos??1时，符合建桥要求.……………………………………………16分 322219.(1) 椭圆C1中a1?2,b1?2，又a1?b1?c1， 所以c1?2，离心率e1?c12?………………………………………………2分 a12222又椭圆C2中a2?2,b2?m，又a2?b2?c2， 所以c2?2?m2，
c222?m2e2??=，又因为0?m?2，
a222所以m?1………………………………………………………4分 （2）当直线AB与x轴重合时，O,P,Q三点共线，不符合题意 故设直线AB的方程为：x?my?2且m?0 设P(x1,y1),Q(x2,y2)
y2?x2?1 由(1)知椭圆C2的方程为：2联立方程消去x得y?2(my?2)?2?0即(1?2m)y?8my?6?0
2222解得y1,264m?4m2?6m??（） 21?2m2又SPOQ?SAOQ?SAOP?1AOy1?y2 224m2?6?…………………………………………8分 21?2m令1?2m?t?4
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2高二下学期期末考试数学试题
124m2?622t?82t?81222t?此时………………10分 ??2??8()??2281?2mtttt2(3)由(2)知y1?y2?8m?4x?x?所以 12221?2m1?2m所以M(?24m,)
1?2m21?2m2
所以直线OM的斜率kOM??2m直线OM的方程为y??2mx…………………………………12分
?x2y2?1??22联立方程?4消去x得(m?2)y?4my?0 2?x?my?2?得yB?4m 2m?24m22m2?4?2?2所以xB?2
m?2m?2所以kBC4m2m?2??m…………………………………14分 ?2m2?42?2m2?2则直线BC的方程为y??m(x?2) 2?y??2mx24m?(?,?) 联立直线AB和BC的方程?解得点坐标为Rm33y??(x?2)??2所以点R在定直线x??20. 解：
（1）当a?0,b??1时，f(x)?2上运动.……………………………………16分 312x?lnxx?(0,??)， 21x2?1f?(x)?x??，由f?(x)?0得x?1，
xx
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所以函数f(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1,??)单调递增，
1f(x)min?f(1)?…………………………………………………………………3分
2（2）由函数f(x)得f?(x)?x?a?b x因为函数f(x)在x?1与x?2处的切线互相垂直，所以f?(1)?f?(2)??1
即(1?a?b)(2?a?)??1，…………………………………………………………5分
b2法一. 展开整理得a?(b?3)a?232125b?b?3?0， 222该关于a的方程有解，所以??(b?3)?4(b?2321225b?3)?0， 2即b?4b?12?0，
所以b??2或b?6，…………………………………………………………………………9分 法二. 由(1?a?b)(2?a?)??1，……………………………………………………5分
b2即(?1?a?b)(2?a?)?1，
22b2b??b??(?1?a?b)?(2?a?)??1??b?2???2?， 所以1?(?1?a?b)(2?a?)??2?2??2?????????即(b?2)?16，所以b??2或b?6……………………………………………………9分
21x2?ax?1（3）当b?1时，f?(x)?x?a??，
xx所以x1,x2是方程x?ax?1?0的两根，从而x1?x2??a,x1x2?1，………………10分 因为x1?x2且x1?0,x2?0，
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