2021届数学一轮复习
[练案35]第三讲 等比数列及其前n项和
A组基础巩固
一、单选题
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( A ) A．－24 C．12
B．0 D．24
[解析] 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项等于－24，故选A.
2．(2020·广东百校联考)在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，则m＝( B )
A．11 C．9
B．10 D．8
64610m－1
[解析] 因为am＝a1a2a3a4＝a4＝2m，所以m＝10，故1q＝2×2＝2＝2·2
选B.
3．(2020·贵州贵阳期中)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5
＝( C ) S2
A．11 C．－11
B．5 D．－8
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0， S51－q5
∴q＝－8，∴q＝－2，∴＝＝－11，故选C.
S21－q2
3
4．(2020·陕西西安远东中学期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3
＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( C )
1A．
31C．
9
1B．－
31D．－ 9
[解析] 设数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，
坚持就是胜利！
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∴a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝9，∴a1q4＝9， 1
∴a1＝，故选C.
9
5．(2020·甘肃天水二中月考)已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝
A．29 C．211
an＋1
，若b10b11＝2，则a21＝( C ) an
B．210 D．212
[解析] ∵b10b11＝2，∴b1·b2·……·b10·b11·……·b19·b20＝210，又bn
an＋1a2a3a20a21a21
＝，∴··……··＝210，∴＝210，又a1＝2，∴a21＝211，故选C. ana1a2a19a20a1
6．(2020·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列an
{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝，则( D )
Sn
A．T3≤T6 C．T3≥T6
B．T3
a6?1－q?a3?1－q?q5?1－q?q2?1－q?－q2?1－q?
[解析] T6－T3＝，由于6－3＝6－3＝6
a1?1－q?a1?1－q?1－q1－q1－qq>0且q≠1，所以1－q与1－q6同号，所以T6－T3<0，∴T6 二、多选题 7．(2020·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 ＝2，S3＝6，则S4＝( AC ) A．－10 C．8 B．－8 D．10 [解析] 设等比数列的公比为q，因为a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2 ＝6，则q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.当q＝1时，S4＝S3＋2＝8；当q＝－2时，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A、C. 8．(2020·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾 坚持就是胜利！ 2021届数学一轮复习 苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是( BD ) 50 A．a＝ 750 B．c＝ 7 C．a，b，c依次成公比为2的等比数列 1 D．a，b，c依次成公比为的等比数列 2 1 [解析] 由题意得a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＋2c＋4c＝50， 2即c＝ 50 ，故选B、D. 7 三、填空题 9．(2020·四川南充一诊)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝__320__. [解析] 由题意知log2an＋1＝log2(2an)，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比为2的等比数列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320. 1 10．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an 4 ＋2 ＝ 64(1－2－3n) . 7a511a2 [解析] 设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4.易知 a282q1 数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以 818?1－n? 864 a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)． 171－8 763 11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，44则a8＝__32__. 坚持就是胜利！ 2021届数学一轮复习 7 [解析] 由题意知S3＝a1＋a2＋a3＝， 4a4＋a5＋a6＝S6－S3＝ 6377 －＝14＝·q3，∴q＝2. 444 711 又a1＋2a1＋4a1＝，∴a1＝，∴a8＝×27＝32. 444 12．(2020·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为S10311 Sn，若＝，则公比q＝ － . S5322 [解析] 由 S1031S10－S51 ＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前nS532S532 1 ，所以32 项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－1q＝－. 2 四、解答题 13．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2 ＋16. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和． [解析] (1)设{an}的公比为q，由题设得 2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0. 解得q＝－2(舍去)或q＝4. 因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1. (2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 14．(2020·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. [解析] (1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)， 即Sn＝2Sn－1－n＋4， 坚持就是胜利！ 2021届数学一轮复习 所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]， 又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4， 所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1， 所以Sn＝2n＋1＋n－2， 于是Tn＝(2＋2＋…＋22n＋3＋n2－3n－8＝. 2 B组能力提升 2 3 n＋1 4?1－2n?n?n＋1? )＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n 1－22 1．(2020·安徽六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4a1＋a2 成等比数列，则的值是( C ) b2 55 A．或－ 225 C. 2 2 5B．－ 21D． 2 [解析] 由题意得a1＋a2＝5，b2＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以 a1＋a25 ＝.故选C. b22 2．(2020·湖北省部分重点中学高三调考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为( C ) 参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1. A．2.2天 C．2.6天 B．2.4天 D．2.8天 1[解析] 设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项为a1＝3，公比为，前2n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项为b1＝1，公比为2，前n 坚持就是胜利！
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