初中数学竞赛精品标准教程及练习47：配方法

初 中数学竞赛精品标准教程及练习（47）

配方法

1.一、内容提要

配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式（a±b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：

①由a2+b2配上2ab， ②由2 ab配上a2+b2， ③由a2±2ab配上b2.运用配方法解题，初中阶段主要有：

用完全平方式来因式分解例如：把x4+4 因式分解.

原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝?? 这是由a2+b2配上2ab.

2.①②二次根式化简常用公式：a?a，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简5?26.

2我们把5－26写成 2－223＋3

＝(2)2－223＋(3)2＝（2－3）2.

这是由2 ab配上a2+b2.

求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0， ∴当a=0时， a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a－2 的最值.∵a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－3

当a=－1时, a2+2a－2有最小值－3. 这是由a2±2ab配上b2

有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.

例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.

配方的可化为 （x+1）2+(y－2)2=0.

③④ 要使等式成立，必须且只需??x?1?0.

?y?2?0?x??1解得 ??y?2此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.

1

二、例题

因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.

解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2) （折项，分组）

＝（ab+1）2－(a－b)2 （配方）

＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）

本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.

化简下列二次根式：

例1.例2.①7?43； ②2?3； ③10?43?22.解：化简的关键是把被开方数配方

2①7?43＝4?2?23?3＝(2?3)＝2?3＝2＋3.

234?23(3?1)2②2?3＝2?＝＝

222＝

6?22(3?1)＝.

22③10?43?22＝10?4(2?1)＝10?（ 42＋1）2＝6?42＝4?2?22?2＝(2?=2－2.

例3. 求下列代数式的最大或最小值：

① x2+5x+1； ② －2x2－6x+1 .

2)25?5?25解：①x+5x+1＝x+2×x+??－+1

4`2?2?2

2

2＝（x+

∵（x+

5221）－. 2452

）≥0，其中0是最小值. 2521即当x=时，x2+5x+1有最小值－.

241②－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x-）

23991=－2(x2+2×x+?－)

2442

2

＝－2（x+

∵－2（x+

3211）+ 2232

）≤0，其中0是最大值， 2311∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值.

22例4. 解下列方程：

①x4－x2+2xy+y2+1=0 ； ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组） (x2－1)2+(x+y)2=0. （配方）

根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.

??x?1?0 得 ?

??x?y?0∴?2?x?1, 或

?y??1?x??1 ??y?1②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.

(x+y+3)2+(y－1)2＝0. （配方） ∴?例5.

?x?y?3?0?x??4 ∴?

?y?1?0?y?1已知：a, b, c, d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. 解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2

= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2－2abcd (分组，添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2

例6. 求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解 解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项) （x－4）2+(y+5)2＝25 （配方）

∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.

2222??（?x?4)?0??(x?4)?25（?x?4)?9??(x?4)?16或?或?或?∴? 2222?????(y?5)?25?(y?5)?0?(y?5)?16?(y?5)?9由??x?4?0?x?4得?

?y?5?5?y?0?x??1?? ?y??5??x?4?x?9同理，共有12个解???y??10?y?-5

三、练习47 1. 因式分解：

3

①x4+x2y2+y4 ；

②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； ③x4+x2-2ax-a2+1. 2. 化简下列二次根式：

①4x2?12x?9?4x2?20x?25 （－

32＜x<52）； ②x2?4x3?3x?4?x?2x?2 (1

⑤11?44?23； ⑥3?5?3?5； ⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（3?x）2＋x2?8x?16. 3求下列代数式的最大或最小值： ①2x2+10x+1 ； ②－

12x2

+x-1. 4.已知：a2+b2－4a－2b+5 . 求：

a?b的值.

3?225.已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值. 6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式

1a?1b?1c值的正负. 7.已知：x=19?83 .

求：x4?6x3?2x2?16x?23x2?8x?15. 8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c. 9. 解方程：

①x2-4xy+5y2-6y+9 ； ②x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ； ③5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0. 10.求下列方程的整数解：

①（2x-y－2）2＋(x+y+2)2=5； ②x2-6xy+y2+10y+25=0.

练习47参考答案： 1. ②（x－y－3）2

2. ①8， ②0.5x， ③3－22， ④10?22， ⑤2＋3， ⑦3＋5， ⑧7－2x （x≤3）

4

⑥10 3. ①当x=－

5231时，有最小值－ ②x=1时，有最大值－ 2224. a=2, b=1 代数式值是3＋22

5. ±13 6.负数。由（a+b+c）2=0 得出ab+ac+bc<0

4. 值为5。 先化简已知为4－3，代入分母值为2， 可知x2－8x+13=0 分子可化为（x2+2x+1）(x2－8x+13)+10 ＝10

5. 配方（a－b）2+(b－c)2=0 6. ①??x?6 ②??y?3?x?1,?1?y??1,1 ③??x?2?y??1

7. ①??x?1?x?1?x??1?x??1y??2 ②（x-3）2?y??1????y??3??y??2+(y+5)2=9

5

??