设
n1n?1???(??)(n?2)， an3an?1n1n?12????(n?2)，故???1 an3an?131n?1}是公比为的等比数列
3an则
所以{则有
n11?1???()n?1即an?an33n 1n1?()31111?????[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不23n2nan?1,n?2,3,4,?
n?an?1评注：引入新数列是“无中生有”的策略，也是解数学问题常用的想法。 例20.（05‘湖北）已知不等式
超过log2n的最大整数. 设数列{an}的各项为正，且满足a1?b(b?0),an?求证an?2b,n?3,4,5,?
2?b[log2n]分析：本题“穿着”不等式的“光彩外衣”，给我们以假象，但只要用“慧眼”认真观察，就会把问题看得“清清楚楚、明明白白、真真切切”喔！原来是数列求通项，继而奇妙的思路就会从心底升腾。
证明：∵当n?2时,0?an?nan?11n?an?111,????,
n?an?1annan?1an?1n即
111??, anan?1n111111111??,??,?,??. a2a12a3a23anan?1n11111??????. ana123n111??[log2n]. ana12于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
a1?b,?an?2?b[log2n]111??[log2n]?.anb22b2b.2?b[log2n]
评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项相消求和得证. 例21.设a0为常数，且an?3n?1?2an?1(n?N)．
证明:对任意n≥1，an?[3n?(?1)n?1?2n]?(?1)n?2na0；
分析：由于欲证明的式子与an有关，因此可以把证明问题转化为计算问题，即求出通项an。由已知得
15an??2an?1?3n?1，对于这种类型，一种变形方向是把an?1的系数化为1，另一种是把式中的最后一项
化成与n无关的数或式子，从而转化为新的等差或等比数列来解。
证法1：两边同除以（-2）得
nan(?2)n(?2)n?1an13nb?b??(?)，差后等比（累加） 令bn?,则nn?1n32(?2)?bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)???(b2?b1)?b1 1?333?a=?(?)n?(?)n?1???(?)2??1 3?222??233(?)2[1?(?)n?1]131122=??(1?2a0)=??[(?)n?1]?a0
352321?(?)21?an?(?2)nbn???[3n?(?1)n?1?2n]?(?1)n?2na0
5an12an?1???n?1 证法2：由an?3n?1?2an?1(n?N)得 n3333an21121设bn?n，则bn??bn?1?. 构造：bn???(bn?1?),
33535312121??所以?bn??是以b1??(?a0)为首项，?为公比的等比数列
53535??1212n?11n?12n则bn??(?a0)(?)=(?a0)(?1)()
535353an11n?12n即：n?bn?(?a0)(?1)()?
5353故 an?[3n?(?1)n?1?2n]?(?1)n?2na0
证法3：用待定系数法构造an???3n??2(an?1???3n?1) 即:an??2an?1?5??3n?1 比较系数得：?5??1,所以 ???所以an??an?1?13?(?)n 32151 51n1?3??2(an?1??3n?1), 55n?33则?an???是公比为－2，首项为a1?的等比数列.
55??1n3n3n?1nnn?an??(1?2a0?)(?2)n?1(n?N). 即 an?[3?(?1)?2]?(?1)?2a0.
555例22、设数列{an}的前n项和Sn?求首项a1与通项an；
412an??2n?1?,n?1,2,3,?. 333
412a1?S1?a1??22?333，解得：a1?2 解：（I）
当n?2时，an?Sn?Sn?1?即an?4an?1?2n
412412an??2n?1??(an?1??2n?) 333333设an???2n?4(an?1??2n?1)即an?4an?1?2n，比较系数得??1 所以数列{an?2n}是公比是4，首项为4的等比数列 则an?2n?4?4n?1，即an?4n?2n
从条件出发，进行合理的式子变形是转化的必经之路，变形当中体现着对问题的探索，观察联想是其中重要的环节，化简原则在正确变形当中起到极其重要的作用。
数学思想方法在教学中的渗透讲求的是情景与意识、时机与把握、转化与运用。在解决数列问题中，数学思想方法的运用比比皆是，但离开了扎实的知识基础，熟练的基本技能，数学思想方法的运用也就成了空中楼阁。
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