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阶段质量检测（二） 平面向量
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列等式中不正确的是( )
―→―→―→―→―→―→―→A．AB＋BC＋CD＋DA＝0 B．AB－AC＝BC ―→C．0·AB＝0
D．λ(μ a)＝(λμ)a
―→―→―→―→
解析：选B AB－AC＝CB＝－BC，故B不正确． 2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( ) A．a·b＝1 C．(a－b)⊥b
B．|a|＝|b| D．a∥b
解析：选C 因为a·b＝2，所以A不正确；因为|a|＝2，|b|＝2，则|a|≠|b|，所以B不正确；因为a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，所以C正确；因为2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，所以D不正确．
―→―→―→
3．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 C．梯形
B．矩形 D．菱形
―→―→―→―→―→
解析：选C ∵AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，∴四边形ABCD为梯形． 4．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于( ) πA. 3πC. 4
πB. 6πD. 2
解析：选A 由a＝b＋c，可知c＝a－b， 故c2＝a2－2a·b＋b2，
11∴a·b＝，即cos〈a，b〉＝，
22π
又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝.
3
―→―→―→
5．设O，A，M，B为平面上四点，OM＝λOB＋(1－λ)OA，且λ∈(1,2)，则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
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C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
―→―→―→―→―→―→
解析：选B 由题意可知OM－OA＝λ(OB－OA)，即AM＝λAB，∴A，M，B三点―→―→
共线．又λ∈(1,2)，∴|AM|>|AB|，∴点B在线段AM上．
6．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( ) A．－6 C．3
B．6 D．－3
解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
7．某人在静水中游泳，速度为43 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90° C．45°
B．30° D．60°
―→―→
解析：选D 如图，用OA表示水速，OB表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
―→―→
|AC||OB||v静|
于是tan∠AOC＝＝＝＝3，
―→―→|v水||OA||OA|∴∠AOC＝60°，故选D.
8．已知向量b与单位向量a满足|a＋3b|＝2，a⊥(a＋b)，则|b|＝( ) A．5 C．2
B．3 D．1
解析：选D 因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，因为|a|＝1，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋a·b＝0，所以a·b＝－1.又|a＋3b|＝2，所以a2＋9b2＋6a·b＝4，所以1＋9b2－6＝4，所以|b|＝1，故选D.
―→1―→―→1―→―→―→―→9．在矩形ABCD中，AE＝AB，BF＝BC，设AB＝(a,0)，AD＝(0，b)，当EF
22|a|―→
⊥DE时，求得的值为( )
|b|
A．3 C.3
B．2 D.2
―→―→―→1―→1―→a?
解析：选D 如图，∵EF＝EB＋BF＝AB＋AD＝??2，0?22bab0，?＝?，?. ＋??2??22?
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―→―→―→―→1―→DE＝DA＋AE＝－AD＋AB
2a??a?＝(0，－b)＋??2，0?＝?2，－b?， a2b2|a|―→―→
又∵EF⊥DE，∴－＝0，∴＝2.
42|b|
―→―→―→―→―→―→
10．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC―→―→―→―→―→―→
＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 C．外心、重心、垂心
B．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
―→―→―→
解析：选C 因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所―→―→―→―→―→―→―→
以O为△ABC的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得NA＋NB＝－NC＝CN，由中线的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→心；由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA得PA·PB－PB·PC＝PB·CA＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为△ABC的垂心．
―→―→
11.如图，在等腰直角三角形AOB中，设OA＝a，OB＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设―→
P为垂线上任意一点，OP＝p，则p·(b－a)＝( )
1
A．－
23C．－
2
1B. 23D. 2
―→―→
解析：选A 因为在等腰直角三角形AOB中，OA＝a，OB＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
11―→
由题意，可设OP＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
42
λλ111
所以p·(b－a)＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)＝－(|a|2＋
4242411
|b|2－2a·b)＝－(1＋1－0)＝－. 42
―→―→1―→―→―→
12．已知在等腰三角形AOB中，若|OA|＝|OB|＝5，且|OA＋OB|≥|AB|，则OA·OB
2的取值范围是( )
A．[－15,25) C．[0,25)
B．[－15,15] D．[0,15]
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―→―→1―→1―→―→
解析：选A |OA＋OB|≥|AB|＝|OB－OA|，
221――→―→→―→
所以|OA＋OB|2≥|OB－OA|2，
41――→―→→―→
即(OA＋OB)2≥(OB－OA)2，
4
―→―→―→―→1―→―→―→―→所以OA2＋2OA·OB＋OB2≥(OB2－2OA·OB＋OA2)，
41―→―→―→―→
所以52＋2OA·OB＋52≥(52－2OA·OB＋52)，
4―→―→所以OA·OB≥－15.
―→―→―→―→―→―→又OA·OB≤|OA||OB|＝5×5＝25，当且仅当OA＝OB时取等号，因此上述等号取不到，
―→―→所以OA·OB∈[－15,25)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把★答案★填在题中的横线上) 13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析：(a＋b)(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的π夹角为.
2
π
★答案★：
2
14．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. 解析：|5a－b|＝|5a－b|2＝?5a－b?2 ＝25a2＋b2－10a·b ＝ ＝7. ★答案★：7
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分―→―→
线上且|OC|＝2，则OC的坐标为________．
解析：如图，已知A(0,1)，B(－3,4)，设E(0,5)，D(－3,9)，则四边形OBDE为菱形，∴OD平分∠AOB.
设C(x1，y1)，
―→―→
∵|OC|＝2，|OD|＝310，
1－? 25＋9－10×1×3×??2?
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2――→→
∴OC＝OD，
310∴(x1，y1)＝
2?10，310?， ×(－3,9)＝－5??5310
―→?10310?即OC＝－
?5，5?. ★答案★：－
??10310? ，55?16．△ABO的三个顶点坐标分别为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，―→―→―→―→―→―→
满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．
―→―→
解析：∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0， ∴x≤1，∴－x≥－1.
―→―→∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2，
―→―→∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3，当且仅当x＝1，y＝2时取等号． ―→―→故OP·AB的最小值为3. ★答案★：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ.
解：∵a＋3b与7a－5b垂直， ∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0.① ∵a－4b与7a－2b垂直， ∴(a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2－30a·b＋8b2＝0.② ①－②，整理得2a·b＝b2.③ 将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|， a·b|b|21∴cos θ＝＝＝.
|a||b|2|b|22∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
―→
18.(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝a，1―→
AD＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝
3
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