高考数学一轮复习 专题3.1 导数概念及其几何意义(讲)

第01节 导数概念及其几何意义

【考纲解读】

考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.求切线方程或确定切点坐标问题为主； 2.单独考查导数概念的题目极少. 3.导数的几何意义为全国卷高考热点内容，常见的命题探究角度有： (1)求切线斜率、倾斜角、切线方程． 导数概念及其几何意义 了解导数的概(2)确定切点坐标问题． 念与实际背景，2013·浙江卷文21；理22; (3)已知切线问题求参数． 理解导数的几何意义. 2018·浙江卷22. (4)切线的综合应用． 4.备考重点： (1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 【知识清单】

1．导数的概念

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

f(x0??x)?f(x0)?y为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或?lim?x?0?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?yy′|x＝x0，即f(x0)?lim. ?lim?x?0?x?x?0?xlim2．函数f(x)的导函数

称函数f(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x)为f(x)的导函数．

?x2．函数y?f(x)在x?x0处的导数几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 (x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝

f′(x0)(x－x0)．

【重点难点突破】

1

考点1 利用导数的定义求函数的导数 【1-1】一质点运动的方程为s?8?3t2.

（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）?6?3?x；（2）?6.

【领悟技法】

1.根据导数的定义求函数y?f(x)在点x0处导数的方法： ①求函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；

?yf(x0??x)?f(x0)； ??x?x?y③得导数f?(x0)?lim，简记作：一差、二比、三极限.

?x?0?x②求平均变化率

2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数 【触类旁通】

【变式一】若f?(x0)??3，则limh?0f(x0?h)?f(x0?3h)?（ ）

hA．?3 B．?12 C．?9 D．?6 【答案】B

【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)??3，

h所以

limh?0f(x0?h)?f(x0?3h)f(x0?h)?f(x0)?[f(x0?3h)?f(x0)] ?limh?0hh2

?limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0?3h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)f(x0?3h)?f(x0) ?lim?lim?3limh?0h?0?3h?0hhh?3h?f?(x0)?3f?(x0)?4f?(x0)??12，选B；

法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)??3，

h所以

limh?0f(x0?h)?f(x0?3h)f(x0?h)?f(x0?3h)?4lim?4f'(x0)??12（其中：

h?0h4h

，故选B.(x0?h)?(x0?3h)?4h）考点2 导数的几何意义

【2-1】【2018年全国卷II文】曲线【答案】y=2x–2

在点处的切线方程为__________．

点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 【2-2】【2018年全国卷Ⅲ理】曲线

________． 【答案】

在点

处的切线的斜率为

，则

【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。 详解：则所以

故答案为-3.

【2-3】【2018届天津市河东区二模】函数

在点

处切线斜率为3，则

3

值为_______． 【答案】2

【解析】分析：首先对函数求导，利用导数的几何意义，即为导函数在相应的点的函数值等于3，从而得到其所满足的等量关系式，从而求得结果. 详解：根据题意可得，

，

令则

，解得， ，所以

的值为2.

【2-4】已知函数y?f?x?的图象在点M2,f?2?处的切线方程是y?x?4，则

??f?2??f??2?? ．

【答案】7 【解析】

由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知f?(2)?1，有点M必在切线上，代入切线方程y?x?4，可得f(2)?6，所以有f?(2)?f(2)?7．

【2-5】【2017届北京西城八中高三上期中】某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与

融化时间（单位：）近似满足函数关系：此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为等于

的时刻是图中的__________．

（为常数），其图像如图所示．记．那么，，，中，瞬时融化速度

【答案】

4