二元拉格朗日插值Fortran程序设计实验 - 图文

二元拉格朗日插值

一 实验目的-程序功能

利用FORTRAN编程实现二元拉格朗日插值求解函数在给定点的函数值。

设已知插值节点（xi,yi）(i=1,…,m,j=1,…,n)及对应函数值zij=f(xi,yi) (i=1,…,m,j=1,…,n),用拉格朗日插值法求函数在给定点（x,y）处的对应函数值z。 二 实验内容

1、 了解和学习FORTRAN程序语言，会编写一些小程序； 2、 学习和理解拉格朗日插值的原理及方法，并拓展至二元拉格

朗日插值方法；

3、 利用FORTRAN编程实现二元拉格朗日插值法； 4、 举例进行求解，并对结果进行分析。 三 实验原理及方法 1、基本概念

已知函数y=f(x)在若干点xi的函数值yi=f?xi?（i=0,1,???,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：

p(xi)=yi,i=0,1,???,n, (1)

x0则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，x1，x2，...,xn为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点x求f(x)

??数值解，我们称x为一个插值节点，f(x)?p(x)称为x点的插值，当

x?[min(x0，x1，x2，...,xn)，max(x0，x1，x2，...,xn)]时，称为内插，

?????否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。

2、Lagrange插值公式 2.1 线性插值L1(1)

设已知x0 ，x1及y0=f(x0) ,y1=f(x1),L1(x)为不超过一次多项式且满足L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,几何上，L1(x)为过（x0，y0），（x1，y1）的直线，从而得到

L1(x)=y0+

y1?y0（x-x0）. （2） x1?x0为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式

L1(x)=l0（x）y0+l1(x)y1. （3）

其中，

x?x0x?x1l0（x）=x0?x1,l1(x)=x1?x0。

均为1次多项式且满足

l0（x0）=1且l1(x0)=0；l0（x1）=0且l1(x1)=1。

两关系式可统一写成

?1（i?j）li(xi)???0（ i ?j）（4）

2.2 n阶Lagrange插值Ln(x)

设已知x0，x1，x2，...,xn及yi=f(xi)(i=0,1,.....,n),Ln(x)为不超过n次多项式且满足Ln(xi)?yi（i=0,1,...n）.

易知

Ln(x)?l0(x)y0??ln(x)yn??li(x)yi0n（5）

li(x)j其中，均为n次多项式且满足式（4）（i,j=0,1,...,n）,再由x（j?i）

为n次多项式li(x)的n个根，知li(x)=c

?x?xj?0i?inj.最后，由

li(xj)?c?(xi?xj)?1?c=

j?0j?in1?(x?x)ijj?0j?in,i=0,1,...,n.

总之得到：

Ln(x)??li(x)yii?0n

（6）

li(x)??j?0j?inx?xjxi?xj.

（7）

（6）式为n阶Lagrange插值公式，其中，阶Lagrange插值的基函数。 3 二元拉格朗日插值方法

li(x)（i=0,1,…,n）称为n

对于一元函数y=f(x)，得到n+1个数据点（xi,yi）(i=0,1,…,n),可由（6）、（7）式求得n阶Lagrange插值公式，然后求函数在y=f(x)在x点的函数值。

zi,j?f(xi,yj)z?f(x,y) 对于二元函数，若知道数据点

（i=1,…,m，j=1,…,n）,可利用两次拉格朗日插值计算z?f(x,y)在点（x,y）的函数值，方法如下： （1）对每个

xi( i=1,…,m),以

yj（ j=1,…,n）为插值节点，

zij

（ j=1,…,n）为对应函数值，y为插值变量，作一元函数插值得

ui( i=1,…,m); （2） 以

xi( i=1,…,m)为插值节点，i( i=1,…,m)为对应函数值，

ux为插值变量，作一元函数插值求得（x,y）点的值z。 四 FORTRAN编程

a) 开发环境

使用Compaq Visual Fortran 6.6进行程序设计，编程实现二元拉格朗日插值算法。 b) 使用说明

先编出一元拉格朗日差值算法子程序lagrange，然后编写二元拉格朗日插值算法程序lagrange2,其中两次调用lagrange子程序。

Lagrange(xa,ya,n,x,y)

n 整型变量，输入参数，节点个数

xa n个元素的一维实数型数组，输入参数，存放自变量插

值节点xi（i=1,…,n）

ya n个元素的一维实数型数组，输入参数,存放函数值

（y1,…,yn）T

x 实型变量，输入参数，插值自变量 y 实型变量，输出参数，所求值

****************************************************** Lagrange2(x1a, x2a,ya,m,n,x1, x2,y) m 整型变量，输入参数，x自变量节点个数 n 整型变量，输入参数，y自变量节点个数

x1a m个元素的一维实数型数组，输入参数，存放x自变

量插值节点xi（i=1,…,m）

x2a n个元素的一维实数型数组，输入参数，存放y自变

量插值节点yj（j=1,…,n）

x1 实型变量，输入参数，插值x自变量 x2 实型变量，输入参数，插值y自变量