§8.3 直线、平面平行的判定与性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 平面外一条直线与此平面内的判定定理 一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”) 一条直线与一个平面平行，则性质定理 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 一个平面内的两条相交直判定定理 线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”) 如果两个平行平面同时和性质定理 第三个平面相交，那么它们的交线平行 概念方法微思考
1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？
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图形语言 符号语言 l∥a??a?α??l∥α l?α??l∥α ??l?β??l∥b α∩β＝b??图形语言 符号语言 ??a∩b＝P?α∥β ?a?α??b?αb∥βa∥βα∥β ??α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b??
提示 不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面． 2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示 平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)平行于同一条直线的两个平面平行．( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ ) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) (6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × ) 题组二 教材改编
2．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 答案 D
解析 若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
答案 平行
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，
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在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点， 所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO， 而BD1?平面ACE，EO?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. 题组三 易错自纠
4．(2019·荆州模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n?α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 答案 D
解析 对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 答案 A
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A. 6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号) 答案 ②④
解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交； 由α∥γ，β∥γ?α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．
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题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
求证：GF∥平面ADE.
证明 方法一 如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点， 1
所以GH∥AB，且GH＝AB.
2又F是CD的中点， 1
所以DF＝CD.
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由四边形ABCD是矩形得 AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF， 从而四边形HGFD是平行四边形， 所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE， 所以GF∥平面ADE.
方法二 如图，取AB的中点M，连接MG，MF.
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又G是BE的中点，可知GM∥AE. 又AE?平面ADE，GM?平面ADE， 所以GM∥平面ADE. 在矩形ABCD中，
由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD. 又AD?平面ADE，MF?平面ADE. 所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF， 所以平面GMF∥平面ADE. 因为GF?平面GMF， 所以GF∥平面ADE.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 (2019·东三省四市教研联合体模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC； (2)求点F到平面PDC的距离．
(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点， 1
∴MF∥CB，MF＝CB，
2
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
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