一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12方向旋转30°． 【解析】
）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针
试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×
=12
，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°， ∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12
=36﹣12
， ）cm；
=12
，∴BD=OBsin∠BOD，，∵O′C⊥OA，
，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°， 理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°， ∴∠EO′F=120°， ∴∠FO′A=∠CAO′=30°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
2．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=
81．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒45个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒． （1）求cosA的值；
（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=
9S△QCN时，求t的值； 5（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【答案】（1）coaA=
439；（2）当t=时，满足S△PQM=S△QCN；（3）当t=27?33s或
2655527?33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
26【解析】
分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；
（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=
9S△QCN构建方程即可解决问题； 5（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．
∵S△ABC=∴BE=
181?AC?BE=，
429， 2AB2?BE2=6，
在Rt△ABE中，AE=∴coaA=
AE64??． AB7.55（2）如图2中，作PH⊥AC于H．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t， ∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2， ∵S△PQM=∴
9S△QCN， 5393?PQ2=??CQ2， 4549×（5t）2， 5整理得：5t2-18t+9=0，
∴9t2+（9-9t）2=解得t=3（舍弃）或
3． 5∴当t=
39时，满足S△PQM=S△QCN． 55（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．
易知：PM∥AC， ∴∠MPQ=∠PQH=60°， ∴PH=3HQ， ∴3t=3（9-9t）， ∴t=27?33．
26②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得PH=3QH， ∴3t=3（9t-9）， ∴t=27+33， 262627+33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN综上所述，当t=27?33s或26的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
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