【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）NL?【解析】 【分析】
4013 13（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.
（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通过等量代换，角的加减进而得证结论. （3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝
4a，再由相交弦定理3得到GH?HF＝BH?AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN?LF＝AL?BL，进而求出LN的长. 【详解】 解：
（1）证明：如图1中，连接AD．
∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵EA、ED是⊙O的切线， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°， ∴∠C＝∠EDC， ∴ED＝EC， ∴AE＝EC．
（2）证明：如图2中，连接AD．
∵AC是切线，AB是直径， ∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠EDC＝∠C， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵∠DBF＝∠DAF，
∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD， ∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC． （3）解：如图3中，
由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝∴AC＝
39， 439， 2∵tan∠ABC＝
3AC＝， 4AB39∴3,
?24AB∴AB＝26，
∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝∵GH?HF＝BH?AH，
4a， 344a（26﹣a）， 33∴a＝6，
∴4a2＝
∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，
∵GH＝HF， ∴AB⊥GF， ∴∠AHG＝90°， ∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG， ∴∠NFH+∠CAF＝90°， ∵∠NFH+∠HLF＝90°， ∴∠HLF＝∠CAF， ∵AC∥FG， ∴∠CAF＝∠AFH， ∴∠HLF＝∠AFH， ∵∠FHL＝∠AHF， ∴△HFL∽△HAF， ∴FH2＝HL?HA， ∴122＝HL?18， ∴HL＝8，
∴AL＝10，BL＝16，FL＝FH2?HL2 ＝413， ∵LN?LF＝AL?BL， ∴413?LN＝10?16， ∴LN＝
4013 . 13【点睛】
本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E． （1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；
（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）秒、
45；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：02366?9 秒、 ． 25【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝
A'B'CE?可求出CE，即可计算△CED′的面积，SABCE＝SABD′﹣SCED′； A'D'CD'（2）分类讨论，当0≤x≤
1111时和当＜x≤4时，分别列出函数表达式； 55（3）分类讨论，当AB′＝A′B′时；当AA′＝A′B′时；当AB′＝AA′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】
解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm， ∴BD＝10cm，
根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm， ∵tan∠B′D′A′＝
A'B'CE? A'D'CD'6CE? 823∴CE＝cm，
2∴
∴S ABCE＝SABD′﹣SCED′＝（2）①当0≤x＜∴S△CD′E＝∴y＝②当
8?6345?2??2?（cm2）； 222113时，CD′＝2x+2，CE＝（x+1）， 52323x+3x+， 22133345×6×8﹣x2﹣3x﹣＝﹣x2﹣3x+； 22222114≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝（8﹣2x） 53148641282??8?2x?＝x2﹣x+． 23333（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；
∴y?②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+∵AN2+A′N2＝36，
1824，A′M＝NB＝， 55
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