高等数学试题及答案
一、单项选择题（本大题共
5小题，每小题
2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设f(x)=lnx，且函数(x)的反函数1
(x)=
2(x+1)x-1
，则
f(x)
（
）
A.lnx-2 B.ln
x+2x+2
x-2
C.ln2-x D.ln
x+2x+2
2-x
0
t
dt
2．lim
x
ee
t
2x
0
1cosx
（）A．0 B．1
C．-1
D．
3．设y
f(x0
x)
f(x0)且函数
f(x)在x
x0处可导，则必有
（
）
A.limx
0
y0 B.y0 C.dy0 D.ydy
4．设函数f(x)=
2x2
,x1
3x1,x1
，则f(x)在点x=1处（
）A.不连续 B.
连续但左、右导数不存在 C.
连续但
不可导 D. 可导
5．设xf(x)dx=e
-x
2
C，则f(x)=（
）
2
-x
2
B.-xe C.2e
-x
2
D.-2e
-x
2
A.xe
-x
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数
f(x+
14
)+f(x-
14
)的定义域是
__________.
7．limnaaqaq2L
aq
n
q1_________
8．limarctanx
x
x
_________
9.已知某产品产量为g时，总成本是C(g)=9+g
2
800
，则生产100
件产品时的边际成本MCg100
__
10.函数f(x)
x
3
2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的
点ξ是_________.
11.函数y
2x
3
9x2
12x
9的单调减少区间是___________.
12.微分方程xy'
y
1x3
的通解是___________.
2ln2
13.设
dta
,则a
___________.
e
t
1
6
2
14.设z
cosxy
则dz=
_______.
15 设
D(x,y)0x1,0
y1，则
xe
2y
dxdy_____________.
D
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x
16.设
y
1x
，求dy. 17.求极限lim
lncotxx
0
lnx
18.求不定积分
1
5x1
ln5x1
dx.
a
19.计算定积分I=
2
0
a
x2
dx.
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—
20.设方程x2
y
2xze
z
1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题
7分，共21分）
21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径
r和高h分
别为多少时，所用材料最省？
22.计算定积分
xsin2
xdx
0
23.将二次积分Iy
2
0
dx
sinx
y
dy化为先对x积分的二次积分并计算其
值。
五、应用题（本题
9分）
24.已知曲线yx2
，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线yx2
与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及
其绕x轴旋转而成的旋转体的体积
Vx.
2
六、证明题（本题5分）
25．证明：当
x>0时，xln(x1x2
)
1x
2
1
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—
3
—
参考答案
一、单项选择题（本大题共
5小题，每小题
2分，共10分）
10．答案：
13
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共6．答案：
13
4,47．答案：
a1q
8．答案：09．答案：
14
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30分）
11．答案：（1，2）12．答案：
x
3
2
1Cx
13．答案：aln2
14．答案：
12
ysin2xdxcosxy
dy15．答案：
14
1e
2
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题x
16. 答案：lnx1
1x
dx
17．答案：-1 18．答案：25ln5x1
C
19. 答案：
2
4a
5分，共25分）
4
—
20. 答案：Z
'x
2xy2z
z
2xe
，Zy
'
x2x
2
25．证明：
e
z
Qf(x)
xln(x1x)
2
1x2
1四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．答案：
r4V
0
3
V
，hV03
2
r20
2
22．答案：
4
23. 答案：1 五、应用题（本题
9分）
24. 答案：（1）y=2x-1（2）
112
，
30
1
1
（2）所求面积
S
y11
2
232
0
(2
y)dy
4
y13
y0
所求体积V12
2
x
0
x
dx
11
2
13
2
5
6
30
六、证明题（本题5分）
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112
1
2x
f'(x)
ln(x1x2
2
)x
21xxx
1x
2
1x
2
ln(x1x2
)x
x1x
2
1x
2
ln(x1x2)Qx0x
1x
2
1f'(x)
ln(x1x2)
0
故当
x0时f(x)单调递增，则
f(x)
f(0),即
xln(x
1x2
)
1x
2
1
5
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