323
cosα＋sinα＝sin(60°＋α)⑨
33
由⑧⑨式可知对应F最小时与斜面间的夹角
α＝30°⑩
联立③⑧⑩式，代入数据得F的最小值为
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Fmin＝ N
5
【解题法】 求解临界极值问题
的三种常用方法
(1)极限法：当题中出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，意味有临界现象。此时，可用极限法(把物理过程或问题推向极端，从而使临界状态暴露)判定，以达到正确解决问题的目的。
(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，
或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。
(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。
命题法4 滑块—滑板类问题
典例4 如图所示，质量为M＝4.0 kg的长木板B静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m＝1.0 kg的小滑块A(可视为质点)。初始时刻，A、B分别以大小为v0＝2.0 m/s的速度向左、向右运动，最后A恰好没有滑离B板。已知A、B之间的动摩擦因数μ＝，取g＝10 m/s2。求：
(1)发生相对运动时A、B的加速度aA、aB的大小和方向；
(2)A相对于地面的速度为零时，B相对于地面的位移x；
(3)木板B的长度l。
[答案] (1)aA＝4.0 m/s，方向水平向右 aB＝1.0 m/s，方向水平向左 (2)0.875 m (3)1.6 m
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[解析] (1)滑块A受到水平向右的摩擦力作用，木板B受到水平向左的摩擦力作用，且摩擦力的大小均为μmg，则根据牛顿第二定律，对滑块A有μmg＝maA
解得aA＝μg＝4.0 m/s2，方向水平向右。
对木板B有μmg＝MaB
解得aB＝μmg/M＝1.0 m/s2，方向水平向左。
(2)开始阶段A相对于地面向左做匀减速运动，设速度减小到零所用的时间为t1，则有v0＝aAt1
解得t1＝v0/aA＝ s
此时B相对于地面向右做匀减速运动的位移为
12
x＝v0t1－aBt1＝0.875 m
2
(3)A向左匀减速到速度为零后，开始向右做匀加速运动，加速度大小仍为aA＝4.0 m/s2
B仍向右做匀减速运动，加速度大小仍为 aB＝1.0 m/s2；
当A、B的速度相等时，A滑到B的最左端，恰好不滑出木板。
故木板B的长度等于全过程中A、B间的相对位移。
在A相对于地面的速度为零时，B的速度为
vB＝v0－aBt1＝1.5 m/s
设由A的速度为零至A、B的速度相等所用的时间为t2，则有
aAt2＝vB－aBt2
解得t2＝vB/(aA＋aB)＝ s
A、B的共同速度v＝aAt2＝1.2 m/s A向左运动的位移大小为
xA＝(v0－v)(t1＋t2)/2＝(2－＋/2 m＝0.32 m B向右运动的位移大小为
xB＝(v0＋v)(t1＋t2)/2＝(2＋＋/2 m＝1.28 m
故木板B的长度为l＝xA＋xB＝1.6 m。
【解题法】 “滑块—木板模
型”的分析技巧
(1)分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度。
(2)对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程。特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移。
(3)滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运动时，位移之和等于板长。
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