A卷
2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷
答案及评分标准
( 工 科 类 )
专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日 题 号 一 二 18 三 18 四 18 五 8 六 12 七 9 八 5 本题得分 阅卷人 注意事项：
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
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总 分 本题满分 12
一．（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在 题后的括号内打“√”或“?”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.
本题满分12分 本 题得分 1．函数f(x)在(a,b)内的驻点一定是极值点. （ ? ）
---------------------------- （ 2分 ）
反例：函数f(x)?x3在x?0处满足f?(0)?0，即x?0为驻点，但x?0不是f(x)在(-1,1)内的极值点． ---------------------------- （ 2分 ）
2．反常积分
1 ??1xdx是发散的. （ √ ）
1 ---------------------------- （ 2分 ）
证明：由于
101111111dx=dx+dx，又lnx???，故反常积分??1x??1x?0x?0xdx=lnx0??xlim?0?11 ??1xdx发散. ---------------------------- （ 2分 ）
3．设函数f(x)、g(x)在x?0的某邻域内连续，且当x?0时f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x?0时，
?x0f(t)sintdt是
?x0 tg(t)dt的高阶无穷小. （ √ ）
---------------------------- （ 2分 ） 证明：由于当x?0时f(x)是g(x)的高阶无穷小，即limx?0f(x)?0，则 g(x)?limx?0x0f(t)sintdtx0?tg(t)dtxxf(x)sinx=lim?0，即当x?0时，?f(t)sintdt是?tg(t)dt的高
00x?0xg(x)阶无穷小. ---------------------------- （ 2分 ）
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二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限limx?0本题满分18分 本 题得分 ------------- （ 1分 ）
?x202(e?1)dt2t2x(1?cosx).
x22解：limx?0?x202(e?1)dt2t2x(1?cosx)=limx?04?(et?1)dt0x644(ex?1)x2 =lim ------------- （ 3分 ） 5x?06x8x54 =lim5?. ------------- （ 2分 ）
x?06x33?dyd2y?x?acost,2. 求由参数方程?所确定的函数的一阶导数及二阶导数2. 3dxdx??y?asintdydydt3asin2tcost解：=（ 3分 ） ???tant, ------------------------- 2dxdx?3acostsintdtddy()2dyddy?sec2tsec4tdtdx ?()???. ------------------------ （ 3分 ）22dxdxdxdx?3acostsint3asintdt
3．设y?lnax?arctan，求dy,（其中a,b为常数，b?0）.
bx2?b2b1axln(x2?b2)?arctan，则 ----------------- （ 1分 ） 2bbx?a解：y?ln(x?a)?11xa1a?xb，故 ----------------- （ 4分 ） y???2?=+222x?ax?b2bx?ax?b?x?1????b?a?x??1dy=?+2dx. ----------------- （ 1分 ） 2?x?ax?b??
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三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 本题满分18分 本 题得分 1?2xsin,?1．设函数f?x???x??ax?b,数a,b的值.
x?0,x?0在x?0处可导，试确定常
解：由于f(x)在点x?0处可导，故f(x)点x?0处连续，又 ----------------- （ 1分 ）
2f(0+)?limxsin+x?01?0，f(0-)?lim(ax?b)?b，故 -x?0x由f(0?)?f(0?)?f(0)，得b?0. ----------------- （ 2分 ）
又f??(0)?lim?x?0ax?a，f??(0)?limx?0?xx2sinx1x?0， ----------------- （ 2分 ）
由f??(0)?f??(0)，得a?0. ----------------- （ 1分 ） 2．设曲线的方程为x3?y3?(x?1)cos(?y)?9?0，求此曲线在x??1处的法线方程. 解：方程两边对x求导，得
3x2?3y2y??cos(?y)??(x?1)sin(?y)y??0， ----------------- （ 3分 ）
又当x??1时，解得y??2，代入上式得y?|x??1??1，故 ----------------- （ 2分 ） 3曲线在x??1处的法线方程为y?2?3(x?1)，即3x?y?1?0.----------------- （ 1分 ）
3．试确定曲线y?ax?bx?cx?d中的a,b,c,d，使得在x??2处曲线有水平切线，(1,?10)为拐点，且点(?2,44)在曲线上.
解：由于曲线在x??2处曲线有水平切线，(1,?10)为拐点，
故y?|x??2?0，y??|x?1?0， ----------------- （ 2分 ） 又y??3ax?2bx?c，y???6ax?2b，可得
23212a-4b?c=0，6a?2b?0， ----------------- （ 1分 ）
又由于(1,?10)为拐点，且点(?2,44)在曲线上，可得
a?b?c?d=?10,?8a?4b?2c?d?44，----------------- （ 2分 ）
联立解得a?1,b??3,c??24,d?16. ----------------- （ 1分 ）
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四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．设xf(x)dx?arcsinx?C，求不定积分
本题满分18分 ??dx. f(x)解：不定积分两边求导得：xf(x)=11?x2，即f(x)=1x1?x2，
本 题得分 ----------------- （ 3分 ）
3dx1222故?=x1?xdx??(1?x)?C. ----------------- （ 3分 ）
f(x)?3?sin3x2?2．求定积分?x??4?x?dx. 6?2?1?x?232xsinx解：由定积分的对称性质，可得?dx=0， ----------------- （ 2分 ）
?21?x622?2?2x24?x2dx=2?x24?x2dx，令x?2sint，则dx?2costdt，
02----------------- （ 1分 ）
且当x?0时，t?0，当x?2时，t??，故 2??20?x24?xdx=16?222013?sintcostdt?16?2(sin2t?sin4t)dt=16(?)??,028222
------------- （ 2分 ）
故
?2?2?sin3x2?x??4?x?dx=2?. -------------（1分 ） 6?1?x?x???x?a??2x3．已知lim??2xedx，求a的值. ??ax??x?a????a??lim??1???x?0?x?x??e?a?x?a???解：由于lim?=?a?e?2a， ------------- （ 3分 ） ?ax??x?axe????a?a?lim??1???x?0??x?????xa?a???a2xe?2xdx=????axde?2x??xe?2x??a????ae?2xdx??11??limxe?2x?ae?2a?e?2x?(a?)e?2a， ------------- （ 2分 ）
x??a2211=1，得a=. ------------- （ 1分 ） 2220
故a?
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