4.2 三角恒等变换
探考情悟真题 【考情探究】
考点
内容解读
(1)两角和与差的三角函数公式
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;
③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)
5年考情
关联考点 同角三角函
三角函数
2019课标Ⅱ,10,5分 数的基本关
求值
系
三角函数
2018课标Ⅲ,4,5分
的求值 三角函数的
2015课标Ⅰ,2,5分 诱导公式
求值和化简 2016课标Ⅱ,9,5分
三角函数 求值
诱导公式
考题示例
考向
预测热度
三角函数的化简和求值
★★★
分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.
破考点练考向 【考点集训】
考点 三角函数式的化简和求值
1.(2020届黑龙江齐齐哈尔第八中学高三月考,7)若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值为( ) A.-sin2 答案 B
2.(2019广东揭阳一模,4)若sin(2-2α)=5,则sin4α-cos4α的值为( ) A.5 4
π
3
B.-1
C. 2
1
D.1
B.5 3
C.-5
4
D.-5
3
答案 D
π
π
3
3.(2019安徽黄山二模,2)已知x∈(0,),cos(??+)=,则sinx的值为( )
245A.- B. 答案 B
4.(2019天津河西质量调查(三),6)函数f(x)=sinx-cos(??+6)的值域为( ) A.[-2,2] 答案 B
5.(2020届山西大同学情调研测试,13)已知sin(??-)=,且θ∈(0,),则cos(??-)= .
6223答案 1
π
1
π
π
π
√210
√210
C.
7√2 10
D.-
7√2 10
B.[-√3,√3] C.[-1,1] D.[-
√3√3,] 22
炼技法提能力 【方法集训】
方法 三角函数式化简、求值的解题方法
1.(2019河南顶级名校3月联考,11)若1-tan??=2018,则cos2??+tan2α=( ) A.2017 答案 B
2.(2019山西3月质检,15)已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m= . 答案 -√3 3.(2019湖南炎德英才大联考(三),13)设α是锐角,且cos(??+6)=5,则sin(2??+12)的值为 . 答案
31√2 50
π
3
π
1+tan??
1
B.2018 C.2019 D.1004
【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2019课标Ⅱ,10,5分)已知α∈(0,2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( ) A.5 1
π
B.5
√5C.3
√3D.
2√5 5
答案 B
2.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sinα=3,则cos2α=( )
1
89
79
79
89
A. B. C.- D.-
答案 B
3.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos(-α)=,则sin2α=( )
4
5
π
3
A.25
7
B.5 1
C.-5
1
D.-25 7
答案 D
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tan,则
5π
cos(??-3π)10πsin(??-)5=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
2.(2019江苏,13,5分)已知答案
√2 10
4
√5tan??
πtan(??+)
4
=-3,则sin(2??+4)的值是 .
2π
3.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=3,cos(α+β)=-5. (1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值.
解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力. (1)因为tanα=3,tanα=cos??,所以sinα=3cosα. 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,
259
4
sin??
4
所以cos2α=2cos2α-1=-25.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-5,
所以sin(α+β)=√1-cos2(α+β)=因此tan(α+β)=-2.
因为tanα=3,所以tan2α=1-tan2α=-7.
因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=1+tan2??tan(??+??)=-11.
tan2??-tan(??+??)
2
4
2tan??
242√5, 5
√57
C组 教师专用题组
1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=( ) A.- B. 答案 D
2.(2017江苏,5,5分)若tan(??-4)=6,则tanα= . 答案 57
π
1
√32
√32
C.-
2
1
D. 2
1
3.(2016四川,11,5分)cos28-sin28= . 答案
√2 2
ππ
4.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= . 答案 √2;1
5.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是 . 答案
√6 2
1
6.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=7,则tanβ的值为 . 答案 3
7.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφ·cos(x+φ)的最大值为 . 答案 1
8.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.
5
44
π
(1)求AB的长; (2)求cos(??-6)的值.
解析 (1)因为cosB=,0 54 π 所以sinB=√1-cos2B=√1-()=. 55由正弦定理知sin??=sin??,所以AB= ???? ???? ????·sin??6×2sin?? √2423 =35=5√2. (2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C), 于是cosA=-cos(B+C)=-cos(??+4)=-cosBcos4+sinB·sin4, 又cosB=5,sinB=5,故cosA=-5×2+5×2=-10. 4 3 4√23√2√2π π π 因为0 π π 7√2. 10 √2√37√217√2-√6. 20 因此,cos(??-)=cosAcos+sinAsin=-×+×= 666102102 π 评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解能力. 【三年模拟】 一、选择题(每小题5分,共45分) 1.(2020届河北邢台第一次摸底考试,6)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三 角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC中,=????√5-1 .根据这些信息,可得 ????2 sin234°=( ) A. 1-2√54 B.- 3+√58 C.- √5+1 4 D.- 4+√58 答案 C 2.(2019安徽安庆二模,9)若函数f(x)=4sinx-2cos2x+m在R上的最大值是3,则实数m=( ) A.-6 B.-5 C.-3 D.-2 答案 C 3.(2018福建福州3月模拟,4)√3cos15°-4sin215°cos15°=( ) A.2 1 B.2 √2C.1 D.√2 答案 D 4.(2020届山西吕梁阶段性测试,11)已知x∈(0,2),y∈(0,2),cos??+sin??=1+cos??,则( ) A.x+y=2 C.x+2y=2 ππ π π cos??-sin?? sin?? B.x+y=4 D.2x+y=2 π π
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