x2y211.设双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且
abF1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 【答案】A
【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】
B. 2
C. 4
D. 8
c?5，?c?5a，根据双曲线的定义可得PF1?PF2?2a， a122|PF1|?PF2?4，即|PF1|?PF2?8，F1P?F2P，?|PF1|2?PF2??2c?， 2S△PF1F2???PF1?PF2故选：A.
?2?2PF1?PF2?4c2，即a2?5a2?4?0，解得a?1，
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
12.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A. a 【解析】由题意可得a、b、c??0,1?，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由b?log85，得8b?5，结合55?84可得出b?出a、b、c的大小关系. 【 详 解 】 由 题 意 2B. b 44，由c?log138，得13c?8，结合134?85，可得出c?，综合可得55可知 a2、 2b、 c??0,1?， alog53lg3lg81?lg3?lg8??lg3?lg8??lg24???????????1，?a?b； ???2?blog85lg5lg5?lg5??2??2lg5??lg25?由b?log85，得8b?5，由55?84，得85b?84，?5b?4，可得b?4； 54.综上所述，a?b?c. 5由c?log138，得13c?8，由134?85，得134?135c，?5c?4，可得c?故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应 用，考查推理能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ?x?y?0,?13.若x，y满足约束条件?2x?y?0， ，则z=3x+2y的最大值为_________． ?x?1,?【答案】7 【解析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 z3xz?，易知截距越大，则z越大， 2223x3xz?经过A点时截距最大，此时z最大， 平移直线y??，当y??222因为z?3x?2y，所以y??由??y?2x?x?1，得?，A(1,2)，所以zmax?3?1?2?2?7.故答案为：7. ?x?1?y?2 【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 214.(x2?)6的展开式中常数项是__________（用数字作答）． x【答案】240 2??【解析】写出?x2??二项式展开通项，即可求得常数项. x??【详解】 6?22? ?x??x??r66其二项式展开通项：Tr?1?C?x当12?3r?0，解得r?4 ??26?r?2?r12?2r(2)r?x?r?C6r(2)r?x12?3r ????C6?x?x?r2?4422??x???的展开式中常数项是：C6?2?C6?16?15?16?240.故答案为：240. x??【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握?a?b?的展开 rn?rr通项公式Tr?1?Cnab，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6n15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】2? 3【解析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中BC?2,AB?AC?3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O， 由于AM?32?12?22，故S△ABC?1?2?22?22， 2设内切圆半径为r，则：S△ABC?S△AOB?S△BOC?S△AOC?111?AB?r??BC?r??AC?r 2221???3?3?2??r?22，解得：r2故答案为：422，其体积：V??r3??. 2332?. 3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f（x）=sinx?1有如下四个命题： sinx①f（x）的图像关于y轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线x= ?对称． 2④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取???x?0可判断命题④的正误.综合可得出结论. 515???1???f??2?f????2??【详解】对于命题①，??，?，则?222?6?2?6?所以，函数f?x?的图象不关于y轴对称，命题①错误； ??????f????f??， ?6??6?对于命题②，函数f?x?的定义域为xx?k?,k?Z，定义域关于原点对称， ??f??x??sin??x??111????sinx????sinx????f?x?， sin??x?sinxsinx??所以，函数f?x?的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③， 11??????f??x??sin??x???cosx?cosx， ?2??2?sin???x????2???????f??x??f??x?， ?2??2?11??????f??x??sin??x???cosx?cosx，则?2??2?sin???x????2?所以，函数f?x?的图象关于直线x? ?2 对称，命题③正确； 对于命题④，当???x?0时，sinx?0，则f?x??sinx?命题④错误.故答案为：②③. 1?0?2， sinx【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.设数列{an}满足a1=3，an?1?3an?4n． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． n?1【答案】（1）a2?5，a3?7，an?2n?1，证明见解析；（2）Sn?(2n?1)?2?2. 【解析】（1）利用递推公式得出a2,a3，猜想得出?an?的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可. 【详解】（1）由题意可得a2?3a1?4?9?4?5，a3?3a2?8?15?8?7， 由数列?an?的前三项可猜想数列?an?是以3为首项，2为公差的等差数列，即an?2n?1， 证明如下：当n?1时，a1?3成立； 假设n?k时，ak?2k?1成立. 那么n?k?1时，ak?1?3ak?4k?3(2k?1)?4k?2k?3?2(k?1)?1也成立. 则对任意的n?N*，都有an?2n?1成立； （2）由（1）可知，an?2?(2n?1)?2 nnSn?3?2?5?22?7?23?2Sn?3?22?5?23?7?24??(2n?1)?2n?1?(2n?1)?2n，① ?(2n?1)?2n?(2n?1)?2n?1，② 3由①?②得：?Sn?6?2?2?2??2?2n??(2n?1)?2n?1 n?1?6?2?22??1?2n?1?1?2n?1?(2n?1)?2n?1?(1?2n)?2?2， 即Sn?(2n?1)?2?2. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题. 18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 [0，200] 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 2 5 6 16 10 7 25 12 8 (200，400] (400，600]
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