4（中度污染）
7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 空气质量好 空气质量不好
人次≤400 人次>400 n(ad?bc)2附：K?，
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2≥k) k
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）
350；（3）有，理由见解析.
【解析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；
（3）根据表格中的数据完善2?2列联表，计算出K2的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为
2?16?25?0.43，等级为2的
100概率为
5?10?126?7?87?2?0?0.27，等级为3的概率为?0.21，等级为4的概率为?0.09；
100100100100?20?300?35?500?45?350
100（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为（3）2?2列联表如下：
空气质量不好 空气质量好
人次?400 人次?400 33 22 37 8 100??33?8?37?22?K2??5.820?3.841，
55?45?70?30因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
19.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DE?ED1，BF?2FB1．
2
（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB?2，AD?1，AA1?3，求二面角A?EF?A1的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）
42. 7【解析】（1）连接C1E、C1F，证明出四边形AEC1F为平行四边形，进而可证得点C1在平面AEF内； （2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C1?xyz，利用空间向量法可计算出二面角A?EF?A1【详解】（1）在棱CC1上取点G，使得C1G?余弦值，进而可求得二面角A?EF?A1的正弦值.
1CG，连接DG、FG、C1E、C1F， 2
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD//BC且AD?BC，BB1//CC1且BB1?CC1，
122C1G?CG，BF?2FB1，?CG?CC1?BB1?BF且CG?BF，
233所以，四边形BCGF为平行四边形，则AF//DG且AF?DG， 同理可证四边形DEC1G为平行四边形，?C1E//DG且C1E?DG，
?C1E//AF且C1E?AF，则四边形AEC1F为平行四边形，
因此，点C1在平面AEF内；
（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系C1?xyz，
,0?、E?2,0,2?、F?0,1,1?， 则A?2,1,3?、A1?2,1AE??0,?1,?1?，AF???2,0,?2?，A1E??0,?1,2?，A1F???2,0,1?，
设平面AEF的法向量为m??x1,y1,z1?，
???y1?z1?0?m?AE?0由?，得?取z1??1，得x1?y1?1，则m??1,1,?1?， ???2x1?2z1?0?m?AF?0设平面A1EF的法向量为n??x2,y2,z2?，
???y2?2z2?0?n?A1E?0由?，得?，取z2?2，得x2?1，y2?4，则n??1,4,2?，
?2x?z?0?22??n?A1F?0
cos?m,n??m?nm?n?37?， 73?21742. ，?sin??1?cos2??77设二面角A?EF?A1的平面角为?，则cos??因此，二面角A?EF?A1的正弦值为42. 7【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
x2y21520.已知椭圆C:?2?1(0?m?5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．
25m4（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x?6上，且|BP|?|BQ|，BP?BQ，求APQ的面积．
5x216y22. 【答案】（1）；（）??122525x2y2??1(0?m?5)，可得a?5，b?m，根据离心率公式，结合已知，即可求得【解析】（1）因为C:25m2答案；
（2）点P在C上，点Q在直线x?6上，且|BP|?|BQ|，BP?BQ，过点P作x轴垂线，交点为M，设
x?6与x轴交点为N，可得△PMB?△BNQ，可求得P点坐标，求出直线AQ直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ的面积. 【详解】（1）
x2y2C:?2?1(0?m?5)?a?5，b?m， 25m直线方程，根据点到
c15?b??m?根据离心率e??1????1????， a4?a??5?x2y2??155x216y22解得m?或m??(舍)，?C的方程为：25?5?，即??1；
442525??4??（2）不妨设P,Q在x轴上方
点P在C上，点Q在直线x?6上，且|BP|?|BQ|，BP?BQ， 过点P作x轴垂线，交点为M，设x?6与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图
22
|BP|?|BQ|，BP?BQ，?PMB??QNB?90?，又?PBM??QBN?90?，
?BQN??QBN?90?，??PBM??BQN，根据三角形全等条件“AAS”，
可得：△PMB?△BNQ，
x216y2??1，?B(5,0)，?PM?BN?6?5?1， 2525x216y2设P点为(xP,yP)，可得P点纵坐标为yP?1，将其代入??1，
2525xP216可得：??1，解得：xP?3或xP??3，?P点为(3,1)或(?3,1)，
2525①当P点为(3,1)时，故
MB?5?3?2，△PMB?△BNQ，?|MB|?|NQ|?2，
可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图
A(?5,0),Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x?11y?10?0，
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