17．（11分）（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： f（t）=10﹣
，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（＜解答： ，解得t的范围，可得结论． =10﹣2sin（t+=t+），t∈[0，24）， t+）＜﹣，即 ≤t+解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣∴≤当t+t+=＜，故当时，函数取得最大值为10+2=12， 时，函数取得最小值为10﹣2=8， 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ≤t+＜t+， ）， 解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温． 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题． 18．（12分）（2014?湖北）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 考点： 等差数列的性质；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断． 2解答： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）=2（2+4d）， 2化简得d﹣4d=0，解得d=0或4， 当d=0时，an=2， 当d=4时，an=2+（n﹣1）?4=4n﹣2． （Ⅱ）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800， 此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立， 当an=4n﹣2时，Sn=22=2n， 2令2n＞60n+800，即n﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去）， 此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41， 综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n， 当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41 点评： 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆． 19．（12分）（2014?湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2） （Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ； （Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ； （Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论． 解答： （Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ）， ∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0） λ=1时，∴=2=（﹣2，0，2），， =（﹣1，0，1）， ∴BC1∥FP， ∵FP?平面EFPQ，BC1?平面EFPQ， ∴直线BC1∥平面EFPQ； （Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则， ∴取=（λ，﹣λ，1）． 同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1）， 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则 ?=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．
∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角． 点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用． 20．（12分）（2014?湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立． （Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
80≤X≤120 年入流量X 40＜X＜80 X＞120 1 2 3 发电机最多可运行台数 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题： 概率与统计． 分析： （Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到． 解答： 解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，， 由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为 = （Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元） （1）安装1台发电机的情形， 由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000， （2）安装2台发电机的情形， 依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200， 因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=， 当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8， 由此得Y的分布列如下 Y 4200 10000 P 0.2 0.8 所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840． （2）安装3台发电机的情形，
依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400， 因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2， 当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7， 当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1， 由此得Y的分布列如下 Y 3400 9200 15000 P 0.2 0.7 0.1 所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620． 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 点评： 本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题． 21．（14分）（2014?湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程； （Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即化简得，y=2|x|+2x． ∴点M的轨迹C的方程为22， ； （Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）． 依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）． 由方程组，可得ky﹣4y+4（2k+1）=0． 2①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（2． ）． 2②当k≠0时，方程ky﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k+k﹣1）． 设直线l与x轴的交点为（x0，0）， 则由y﹣1=k（x+2），取y=0得． 若，解得k＜﹣1或k＞． 即当k∈
时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，
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