考向2 绝对值不等式的证明
例3 已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|－|x－b|. (1)当a＝1，b＝1时，解关于x的不等式f(x)>1； 11
(2)若函数f(x)的最大值为2，求证：＋≥2.
ab解 (1)当a＝1，b＝1时，
2，x≥1，??
f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝?2x，－1≤x<1，
??－2，x<－1，
①当x≥1时，f(x)＝2>1，不等式恒成立， 此时不等式的解集为{x|x≥1}；
1
②当－1≤x<1时，f(x)＝2x>1，所以x>，
2
???1
此时不等式的解集为?x? ???2 ?? ?； ?? ③当x<－1时，f(x)＝－2>1，不等式不成立，此时无解． ???1 综上所述，不等式f(x)>1的解集为?x?x> ???2 ?? ?. ?? (2)证法一：由绝对值三角不等式可得 |x＋a|－|x－b|≤|a＋b|，a>0，b>0，∴a＋b＝2， 111?11?1?ba?∴＋＝(a＋b)?＋?＝?2＋＋?≥2， ab2?ab?2?ab?当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 证法二：∵a>0，b>0，∴－a<0 a＋b，x≥b，?? ＝|x－(－a)|－|x－b|＝?2x＋a－b，－a≤x ??－?a＋b?，x<－a， 结合图象易得函数f(x)的最大值为a＋b，∴a＋b＝2. 111?11?1?ba?∴＋＝(a＋b)?＋?＝?2＋＋?≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． ab2?ab?2?ab? 不等式证明的常用方法 (1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法． (2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法： ①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． ②利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． ③转化为函数问题，利用数形结合进行证明． (2019·延安市高考模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R. (1)解不等式f(x)<|x|＋1； 115(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)≤. 366解 (1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1， 1??x≥， 即?2??2x－1 1??0 2或???1－2x ??x≤0， 或? ?1－2x<－x＋1，? 11 解得≤x<2或0 22所以不等式的解集为{x|0 11(2)证明：因为|x－y－1|≤，|2y＋1|≤， 36 115 所以f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|≤2×＋＝. 366考向3 柯西不等式的应用 例4 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证： (1)a＋b＋c≤ 3； 1113(2)＋＋≥. 3a＋13b＋13c＋12 证明 (1)由柯西不等式得(a＋b＋c)＝(1·a＋1·b＋1·c)≤(1＋1＋1)[(a)＋(b)＋(c)]＝3，当且仅当 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a＝ 1 b＝ 1 1 ，即a＝b＝c＝时等号成立，∴a＋ 3cb＋c≤ 3. (2) 证 法 一 ： ∵ 4 3a＋1 ＋ (3a＋ 1)≥2 4 ·?3a＋1?3a＋1 ＝ 4?时取等号?4?当且仅当3a＋1＝?， 3a＋1?? ∴ 444 ≥3－3a.同理得≥3－3b，≥3－3c， 3a＋13b＋13c＋1 ?1＋1＋1?≥9－3(a＋b＋c)＝以上三式相加得，4?? ?3a＋13b＋13c＋1? 1??6?当且仅当a＝b＝c＝时取等号?， 3?? ∴ 1113 ＋＋≥. 3a＋13b＋13c＋12 证法二：由柯西不等式得 [(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]? ?1＋1＋1?≥?3a＋1·1 ?? ?3a＋13b＋13c＋1??3a＋1 ＋ 3b＋1· 13b＋1 ＋3c＋1· 1?2? 当且仅当a＝b＝c＝时取等号??， ?＝9?3??3c＋1? 1 又a＋b＋c＝1，∴6?∴ ?1＋1＋1?≥9， ? ?3a＋13b＋13c＋1? 1113 ＋＋≥. 3a＋13b＋13c＋12 柯西不等式的应用方法 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． 11?222?1 (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a1＋a2＋…＋an)?2＋2＋…＋2?≥(1＋1＋…＋ ?a1a2an? 1)＝n.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件． 22 (2019·南通市高三下学期模拟)已知a，b，c均为正数，且a＋2b＋4c＝3，求＋ 1 的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值． c＋1 解 因为a＋2b＋4c＝3，所以(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)＝10， 因为a，b，c为正数，所以由柯西不等式得，[(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)]·＋ 12 ≥(1＋2＋2)， c＋1 当且仅当(a＋1)＝2(b＋1)＝4(c＋1)等式成立， 所以所以 11111＋62＋＋≥， a＋1b＋1c＋11011111＋62 ＋＋的最小值是， a＋1b＋1c＋110 2 2 2 11 ＋a＋1b＋1 11＋ a＋1b＋1 23－102152－178－52 此时a＝，b＝，c＝. 777 真题 押题 『真题模拟』 1．(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|－a. (1)当a＝4时，求不等式f(x)>0的解集； (2)若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围． 解 (1)当a＝4时，f(x)＞0为|2x－1|＋2|x＋1|>4， 5 当x≤－1时，1－2x－2x－2>4?x<－； 41 当－1 213当x≥时，2x－1＋2x＋2>4?x>. 24 53 综上，f(x)>0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞）. 44 (2)由题意得|2x－1|＋2|x＋1|>a恒成立，a<(|2x－1|＋2|x＋1|)min. |2x－1|＋2|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，∴a<3. 2．(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，g(x)＝x－2x－1. 2
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