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当x取自然数时，有所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e
（n∈N*），
＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1） =1×n+1+2+3+4+…+n ==
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．
22．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数
．
（1）求实数a的值；
，求g（x1）﹣g（x2）的
（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若最小值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值．
（2）求出g'（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x1）﹣g（x2），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值． 【解答】解：（1）直线x+2y=0的斜率为﹣； 故在x=1处的切线的斜率为2； f′（x）=1+， 故f′（1）=1+a=2； 解得，a=1． （2）
=x+lnx+x2﹣bx，x＞0
∴g′（x）=1++x﹣b=
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令g′（x）=0，得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，
+（x12﹣x22）
∴g（x1）﹣g（x2）=（x1+lnx1+x12﹣bx1）﹣（x2+lnx2+x22﹣bx2）=ln
﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln
+（﹣），
∵0＜x1＜x2，设t=
，（0＜t＜1）
设h（x）=lnt﹣（t﹣），
则h′（x）=﹣（1+）=﹣＜0
∴（x1+x2）2=∵0＜t＜1， ∴9t2﹣82t+9≥0 解0＜≤t，
=t++2≥ ﹣ln9
∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣9）=∴g（x1）﹣g（x2）的最小值
﹣ln9
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
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