浙江省杭州外国语学校2019届高三下学期五月份考试数学试题

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22.解 (1)当k＝2时，f(x)＝e2x(2－x). ∵f′(x)＝2e2x(2－x)－e2x＝e2x(3－2x)， ∴f′(1)＝e2，又∵f(1)＝e2，

∴所求的切线方程为y－e2＝e2(x－1). 即y＝e2x.

1

(2)方法一 ∵e(k－x)≤k，

kx

1

∴当x＝k时，0≤k，即k>0， ∴对任意x∈R，k(k－x)≤e－kx恒成立， 设g(x)＝e－kx＋kx－k2， g′(x)＝－ke－kx＋k＝k(1－e－kx)，

当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，

∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数， ∴g(x)min＝g(0)＝1－k2≥0， 又k>0，∴0

11

方法二 对任意x∈R，f(x)≤k恒成立?f(x)max≤k，x∈R. ∵f′(x)＝kekx(k－x)－ekx＝ekx(k2－kx－1)， 11

当k<0，x≥k－k时，f′(x)≥0；x

1???1?

∴f(x)在?－∞，k－k?上是减函数，在?k－k，＋∞?上是增函数.

????1

又当x→－∞时，f(x)→＋∞，而k<0， 1

∴与f(x)≤k恒成立矛盾，∴k<0不满足条件； 11

当k>0，x≤k－k时，f′(x)≥0；x>k－k时，f′(x)<0，

..

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1???1?

∴f(x)在?－∞，k－k?上是增函数，在?k－k，＋∞?上是减函数.

????

211?1?∴f(x)max＝f ?k－k?＝ek－1·k≤k， ??

∴k2－1≤0，即－1≤k≤1， 又k>0，∴0

综上所述，实数k的取值范围是(0,1].

..