放出的热量为nCp?T'．因此循环过程中的吸热量就是A1B1过程的吸热量。循环过程A2B2C2A2的情形也类似．
先计算循环过程A1B1C1A1效率，设气体的摩尔数为n．循环过程A1B1C1A1对外所做的功即
为图中三角
形
A1B1C1的面积，为
W1?1(pB1?pC1)(V2?V1)?1(pB1?pA1)(V2?V1).式中pB1和pC1如分别是理想气体在状
22态B1和C1时的压强．
又A1B1过程是通过原点的直线，过程的方程可写为p?kV．因此
pB1?pA1?k(V2?V1),代入W1表达式，得W1?1k(V2?V1)2．又直线A1B1过程是多方过
2程，指数为n??1，过程方程式为pV?1?常量，此多方过程的摩尔热容量为
C???nCV?1CV，式中?是气体的绝热指数． 1?n2 设A1和B1状态的温度分别为T1和T2，则有pA1V1?nRT1；pB1V2?nRT2，相减得
T2?T1?1(pB1V1?pA1V1)?k(V22?V12)，所以A1B1C1A1循环过程中所吸收的热量为
nRnRQ1?nC(T2?T1)?k(V22?V12)．可知A1B1C1A1循环过程的效率为
Rk(V?V)221W1R(V2?V1)；同理，A2B2C2A2循环过程的效率为 ?1??2?Q1kC(V2?V2)2C(V2?V1)21RR(V2?V1). 以上两式表明，两循环过程的效率与直线A1B1或A2B2的斜率?2?2C(V2?V1)大小无关，而只与C及V1、V2有关，其中C也与直线的斜率无关，因此只要相应的V1和V2相同，效率就相同，所以，两循环过程的效率相同，即?1??2. 例2 在两端开口的竖直U形管中注入水银，水银柱的全长为h．将一边管中的水银下压，静止后撤去所加压力，水银便会振荡起来，其振动周期为
T1?2?h；若把管的右端封闭，被封闭的空气柱长L，然后2g使水银柱做微小的振荡，设空气为理想气体，且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相
当h0水银柱产生的压强．空气的绝热指数为?．(1)试求水银振动的周期T2；(2)求出?与、T1、T2的关系式.
分析与解 右端封闭后，随着水银柱的振荡，被封闭的空气经历绝热膨胀或绝热压缩过程；封闭端的空气与外界空气对水银柱压力差提供水银柱做微小振动的回复力，本题关注回复力的构成及所循规律．
(1)如图16—9所示，A、B、C分别表示水银柱处于平衡位置、达到振幅位置时和有一任意小位移y时的三个状态．建立如图坐标，设水银柱位移为y时，封闭气体的压强为py，U形管横截面积为S，水银柱总质量为m，水银密度为?. 对被封闭气体的A、C状态由泊松方程可知p0(LS)??py?(L?y)S?，其中p0??gh0，
L)??1?p.由于y?L，上式可近似为 (得 py?p0??0???L?y?hy??py?p0??(L)??1?p0?(1???1)p0???0?gy.对C状态，研究水银柱受到的回
LL?L?y??复力，回复力F即由高度差为2y的水银柱的重力、内外气体压力的合力提供，以位移y方向为 正，即为
F?pyS?p0S?2(?m)g?(py?p0)S?2(?m)g???h0h?gyS?2?gyS??(?0?gS?2?gS)y. LL令 k??期为
h0?gS?2?gS，得 F??ky．可知水银柱的微小振荡为一简谐运动，其周LT2?2?m?2?k?gSh?0?gS?2?gSL?2?h(2??0)gLh. hT?h2g?T? (2)由上述T1和T2得(1)2??1?0，故??2L?(1)2?1?.
h0?T2T2h2L?h0(2??)gL 例3 一热机工作于两个相同材料的物体A和B之间，两物体的温度分别为TA和TB (TA＞TB)，每个物体的质量为m、比热容恒定，均为s，设两个物体的压强保持不变，且不发生相变．
(1)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体A和B最终达到的温度T0的表达式，给出解题的全部过程．
(2)由此得出允许获得的最大功的表达式．
(3)假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50m3，一箱水的温度为350 K，另一箱水的温度为300K．计算可获得的最大机械能．
已知水的比热容=4.19×103J?kg-1?K-1，水的密度＝1.00×103kg?m-3．
分析与解 (1)为获得最大的机械能，可设热机工作的全过程由n(n??)个元卡诺循环组成，第i次卡诺循环中，卡诺热机从高温热源(温度设为Ti)处吸收的热量为?Q1后，温度降为Ti?1；在低温热源(温度设为Tj)处放出的热量为?Q2后，温度升高为Tj?1满足可知
?Q1?Q2?. 又 ?Q1?ms(Ti?Ti?1)，?Q2?ms(Tj?1?Tj)，TiTj(Ti?Ti?1)(Tj?1?Tj)?，令 TiTjTj?1(Ti?Ti?1)(Tj?1?Tj)AT??，(n??，A为常数).有i?1?1?A，?1?A.即 TiTjnTinTjnn?ATn?ATi?1nTTj?1n)?(1?A)A，()?(1?A)A，解得 A?lnA，B?ln0，所以T0?TATB. TinTjnT0TB( (2)由卡诺热机的循环过程可知：
W?Q1?Q2?ms(TA?TB)?ms(TA?TB?2TATB)?ms(TA?TB)2
(3)根据题意代人数据即可得：W?2.0×107J．
例4 已知n(mol)的某理想气体在T＜2T0时的定容热容CV1??nR，在T＞
2T0时的定容热容CV2??CV1，其中?、?均为大于1的常量，该气体经历的循环
过程ABCDA是如图16—10所示的矩形．(1)试求状态D的温度TD，并画出循环过程中系统内能随温度T变化的图线，(2)试计算循环过程的效率?. 分析与解 本题中理想气体所经历的循环过程曲线呈矩形，其中：A?B为等容升压，B?C为等压膨胀；C?D为等容降压；D?A为等压压缩．设A状态参量为p1、V1、T0；B状态参量为p2、V1、2T0；
C状态参量为p2、V2、3T0；D状态参量为p1、V2、TD．
(1)由理想气体状态方程，可知
p22T0p23T0?，?，得TD?3T0.由此也可知，在p1T0p1TD2C?D过程中存在状态F，该状态时的温度为2T0．
(2)本题中理想气体内能为U?CVT，A状态内能为
UA?CV1T0??nRT0，其他状态的内能依次为UB?CV1?2T?02?nRTUF?CV2?2T0?2??nRT0.
UD?CV1?1.5T0?1.5?nRT0．又在B、F (温度均为2T0)状态时，
，
UC?CV2?3T0?3??nRT0，
定容热容量发生了突变，这意味着该理想气体分子的某一运
动自由度刚好在2T0时被激发，因此，系统在B状态时会出现不升温的吸热，内能变为UB?CV2?2T0?2??nRT0，在F状态时，会出现不降温的放热，内能变为
UF?CV1?2T0?2?nRT0．所以U和T的关系应完整地表达为
?U?CV1T??nRT，（T＜2T0）? ?U?CV2T???nRT，（T＞2T0）??nRT＜U＜??nRT，（T＝2T）0?循环过程中系统内能U随温度T变化的图线如图16—11所示．
注意，图线中从A状态到B状态的等容过程并不经过D状态，从B态到C态的等压过程并不经过F状态，同样从C态到D态的等容过程中不经过B态，但经过F状态．又B、F状态因为温度相同，所以内能也相同，图16—11中用同一点表示，另外B、F状态的温度2T0刚好是定容热容量发生突变的温度，出现了不升温的吸热或放热，导致内能变化，所以，两者在图中是一段等温线。同样D状态也不是AB过程中的状态，但与AB过程中某状态具有相同的内能和温度． (3)一个循环过程中，气体对外所做功的大小为图16—10中矩形面积，即为
W?(p2?p1)(V2?V1)．又
p22T02V23T03??，??,所以有W?1p1V1?1nRT0.
22p1T01V12T02 循环过程中属吸热过程的是A?B、B?C在B状态时因定容热容量发生突变而造成的吸热QB，吸收的热量分别为QAB、QBC、QB:
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