数列求通项公式与求和 （Shmily.东）
一、 通项公式
先写出数列前几项 观察数列变化规律猜测出通项后，用数学归纳法证明 用于等差、等比数列相关公式 利用an??sn?sn?1，n?2s1,n?1 构造等差等比数列等） 猜想归纳法 构造辅助数列 公式法 Sn与an的关系 观察法 数列求通项的一般方法 叠乘法累加法 递推方法 （“退一步”思想）即由已知推出相邻用于an?an?1?f(n)用于an件 ?an?1?f(n)型已知条的递推式后将两式作差化简得出结论 型已知条件
二、数列求和
主要是针对等差等比数列，直接应用求和公式 分组求和法 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和 公 式 法 错位相减法 裂项相消法 数列求和的一般方法（五种） 把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和 设数列数列乘以?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，求倒序相加若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子 ?anbn?的前n项和时，常常将?anbn?的各项?bn?的公比，并向后错一项与?anbn?的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和 n(n?1)(2n?1)3n2(n?1)233,1?2???n?补充：1?2???n?
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典型例题
一．通项
类型 形如an?1?an?f(n)型 累加法：
（1）若f(n)为常数,即：an?1?an?d,此时数列为等差数列，则an=a1?(n?1)d.
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 an?1?an?f(n)得：
n?2时，an?an?1?f(n?1)，
an?1?an?2?f(n?2)，
??
a3?a2?f(2)
a2?a1?f(1)
所以各式相加得 an?a1?f(n?1)?f(n?2)???f(2)?f(1)
n?1即：an?a1??f(k).
k?1为了书写方便，也可用横式来写：
? n?2时，an?an?1?f(n?1)，
?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1
=
f(n?1)?f(n?2)???f(2)?f(1)?a1.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例4.已知数列{an}中, an?0且S1n?2(ann?a),求数列{an}的通项公式. n解:由已知S2(an1nn?1n?a)得Sn?(Sn?Sn?1?), n2Sn?Sn?1 - 2 -
化简有Sn2222?Sn?1?n,由类型(1)有Sn?S1?2?3???n,
又S12?a1得a1?1,所以Sn?n(n?1),又an?0,sn?2
2n(n?1)2,
则an?2n(n?1)?2n(n?1)2PS：形如an?1（1）若an?1?an?f(n)型
?an?d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项
分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an?1用逐差法(两式相减)得an?1例1. 数列{an}满足a1?an?f(n)型，通过累加来求出通项;或
?an?1?f(n)?f(n?1)，，分奇偶项来分求通项.
n
?0,an?1?an?2n,求数列{a}的通项公式. ?an?f(n)型
分析 1：构造 转化为an?1解法1：令bn则bn?1?(?1)nan
?bn?(?1)n?1an?1?(?1)nan?(?1)n?1(an?1?an)?(?1)n?1?2n.
?bn?bn?1?(?1)n?2(n?1)?n?1?bn?1?bn?2?(?1)?2(n?2)? n?2时,????b?b?(?1)2?2?11?2?b1??a1?0?各式相加:bn?2(?1)n(n?1)?(?1)n?1(n?2)???(?1)3?2?(?1)2?1
??当n为偶数时，bnn?2???2?(n?1)?(?1)??n.
?2??此时an?bn?n
当n为奇数时，bn此时bn?2(?n?1)??n?1 2??an,所以an?n?1.
- 3 -
故
?n?1,n为奇数,an??
?n,n为偶数.解法2：?an?1?an?2n
?n?2时，an?an?1?2(n?1)，
两式相减得：an?1?an?1?2.
?a1,a3,a5,?,构成以a1,为首项，以2为公差的等差数列;
a2,a4,a6,?,构成以a2,为首项，以2为公差的等差数列
?a2k?1?a1?(k?1)d?2k?2
a2k?a2?(k?1)d?2k.
?an?n?1,n为奇数,??
n,n为偶数.?评注：结果要还原成n的表达式.
例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足
1n?13)(n?3),且S1?1,S2??,求数列{a}的通项公式. 221n?1解：方法一：因为Sn?Sn?2?an?an?1所以an?an?1?3?(?)(n?3),
2Sn－Sn－2=3(?n
以下同例1，略
1n?1?4?3?(),n为奇数,??2答案 an??
??4?3?(1)n?1,n为偶数.?2?
类型 . 形如
an?1?f(n)型 累乘法 anan?1n?1?q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，an=a1?q. an（1）当f(n)为常数，即：
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由
an?1a?f(n)得 n?2时，n?f(n?1)， anan?1 - 4 -
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