备战2020年中考数学二轮复习
专题11 直角三角形的应用与解直角三角形(讲练)
一讲考点——考点梳理
(一)直角三角形的性质
1．直角三角形的两个锐角互余；
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 3．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 4．勾股定理及逆定理
(1)勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2 (2)逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 (二)锐角三角函数的有关概念
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则
∠A的对边a∠A的正弦：sinA==；
斜边c∠A的邻边b∠A的余弦：cosA==；
斜边c∠A的对边a∠A的正切：tanA==；
∠A的邻边b我们把锐角A的正弦、余弦和正切，统称为∠A的锐角三角函数 2．特殊角的三角函数值 sin30°=
331；cos30°=；tan30°= 23222；cos45°=；tan45°=1 2231；cos60°=；tan60°=3 22sin45°=
sin60°=
(三)解直角三角形
1．解直角三角形的定义
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形
2．解直角三角形的常用关系 在Rt△ABC中，∠C=90°，则： (1)三边关系：a2＋b2=c2； (2)两锐角关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角关系：sinA=cosB=(4)sin2A＋cos2A=1
(四)解直角三角形的应用常用知识 1．仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角 2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i=h：l 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，则i=tana，坡度越大，a角越大，坡面越陡 3．方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角
aba，cosA=sinB=，tanA=； ccb二讲题型——题型解析
(一)锐角三角函数的定义
x?2x2?2xx?4例1：(2019·哈尔滨)先化简再求值：(其中x?4tan45??2cos30?. ?2)?x?2x?4x?4x?2【答案】【解析】 【分析】
先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可. 【详解】
23 3?x?2x?x?2??x?4??? 解：原式??2x?2x?2??x?2????x?x?2?x?2??? ??x?2x?2x?4????2x?2 ?x?2x?42， x?43?4?3时， 2当x?4tan45??2cos30??4?1?2?原式?2
4?3?4??2 323． 3【点睛】
本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键. 例2：(2019·潍坊)如图，Rt?AOB中，?AOB?90?，顶点A，B分别在反比例函数y?1?x?0?与xy??5?x?0?的图象上，则tan?BAO的值为_____． x
【答案】5． 【解析】 【分析】
过A作AC?x轴，过B作BD?x轴于D，于是得到?BDO??ACO?90?，根据反比例函数的性质得到S?BDO51OBS?OB??，S?AOC?，根据相似三角形的性质得到?BOD???5，根据三角，求得?5?22OAS?OAC?OA?2函数的定义即可得到结论． 【详解】
过A作AC?x轴，过B作BD?x轴于，
则?BDO??ACO?90?， ∵顶点A，B分别在反比例函数y?∴S?BDO?1?5?x?0?与y??x?0?的图象上， xx51，S?AOC?， 22∵?AOB?90?，
∴?BOD??DBO??BOD??AOC?90?， ∴?DBO??AOC， ∴?BDO:?OCA，
∴
S?BODS?OAC5?OB?2????1?5， ?OA?22∴
OB?5， OAOB?5， OA∴tan?BAO?故答案为：5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． (二)解直角三角形的考查
例3：(2019·嘉兴)如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为( )
A．2
B．3 C．2
D．
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