第52课 空间几何体的表面积与体积
A 应知应会
1. 若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比为 . 2. 若圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为 .
3. (2015·南通、扬州、淮安、连云港二调)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3 cm,AD=2 cm,AA1=1 cm,则三棱锥B1-ABD1的体积为 cm.
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(第3题)
4. (2015·泰州二模)若圆柱的侧面积和体积都是12π,则该圆柱的高为 .
5. 已知正四棱锥的底面是边长为4 cm的正方形,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积. 6. (2016·福州质检)如图,在多面体∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=. (1) 求证:AD⊥BE;
(2) 若BE=,求三棱锥F-BCD的体积.
ABCDEF
中,四边形
ABCD
为菱形,且
(第6题)
B 巩固提升
1. (2016·苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,若这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3= .
(第2题)
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2. (2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 已知AB=4,AA1=6.若E,F分别是棱BB1,CC1上的点,则三棱锥A-A1EF的体积是 .
3. (2016·扬州中学)有一根高为3π cm, 底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 cm.
4. 有一个表面积为12π的圆柱,那么当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为 . 5. (2016·武汉模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,一只蚂蚁沿侧面CC1D1D从点C出发,经过棱DD1上的一点M到达点A1,当蚂蚁所走的路径最短时. (1) 求B1M的长; (2) 求证:B1M⊥平面MAC.
(第5题)
6. (2016·广州模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是C1C上的一点. (1) 当CF=2时,求证:B1F⊥平面ADF; (2) 若FD⊥B1D,求三棱锥B1-ADF的体积.
(第6题)
第52课 空间几何体的表面积与体积
A 应知应会
1. 1∶8 【解析】由S1∶S2=1∶4,得r1∶r2=1∶2,则V1∶V2=1∶8.
2. π 【解析】先求得圆锥的母线长为,再结合侧面积公式求得侧面积为π. 3. 1 【解析】三棱锥B1-ABD1的体积==·A1D1=××3×1×2=1.
4. 3 【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则解得所以该圆柱的高为3.
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5. 【解答】如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE, 又OE=2 cm,∠OPE=30°,所以PE==4 cm, 因此,S侧=ch'=×4×4×4=32(cm), S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm).
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(第5题)
6. 【解答】(1) 如图,取AD的中点O,连接EO,BO.因为EA=ED,所以EO⊥AD. 因为四边形ABCD为菱形, 所以AB=AD.
又∠DAB=60°,所以△ABD为等边三角形,所以BA=BD,所以BO⊥AD. 因为BO∩EO=O,BO?平面BEO,EO?平面BEO,所以AD⊥平面BEO. 因为BE?平面BEO,所以AD⊥BE.
(第6题)
(2) 方法一:在△EAD中,EA=ED=,AD=2,所以EO==. 因为△ABD为等边三角形, 所以AB=BD=AD=2,所以BO=. 又BE=,所以EO+OB=BE, 所以EO⊥OB.
因为AD∩OB=O,AD?平面ABCD,BO?平面ABCD, 所以EO⊥平面ABCD.
又S△ABD=·AD·OB=×2×=,所以S△BCD=S△ABD=. 又因为EF∥AC, 所以==S△BCD·EO=××=.
方法二:在△EAD中,EA=ED=,AD=2,所以EO==.
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因为△ABD为等边三角形, 所以AB=BD=AD=2,所以BO=. 又 BE=,所以EO+OB=BE, 所以EO⊥OB,
所以S△EOB=·EO·OB=××=. 又S△BCD=S△ABD,EF∥AC,AD⊥平面EOB, 所以===S△EOB·AD=××2=. B 巩固提升
1. 5 【解析】半径为5的圆的周长是10π,由题意知2πr1+2πr2+2πr3=10π,所以r1+r2+r3=5. 2. 8 【解析】过点C作CD⊥AB于点D.在正三角形ABC中,AB=4,则CD=2.因为CC1∥平面A1ABB1,则点F到平面A1ABB1的距离为2,所以==×2××4×6=8.
3. 5π 【解析】 如图,把圆柱侧面及缠绕在它上面的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD. 由题意知BC=3π cm,AB=4π cm, 点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.易知AC==5π cm,故铁丝的最短长度为5π cm.
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(第3题)
4. 【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h.因为S
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表
=2πr+2πrh=12π,所以r+rh=6,即h=,故
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V=πrh=πr·=πr(6-r)(0
5. 【解答】(1) 将侧面CC1D1D沿D1D展开,连接A1C交D1D于点M,此时M为D1D的中点,且蚂蚁所走的路径最短.
因为A1B1=A1D1=1,D1D=2,则B1D1==,D1M=D1D=1, 所以B1M===.
(2) 因为CM=CD+DM=2,B1C=BC+B=5,AM=AD+DM=2,B1A=B+AB=5,所以B1M+CM=B1C=5,B1M+AM=B1A=5, 所以B1M⊥MC,B1M⊥AM.
又AM∩CM=M,所以B1M⊥平面MAC.
6. 【解答】(1) 因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 因为B1B⊥底面ABC,AD?底面ABC, 所以AD⊥B1B.
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又BC∩B1B=B, 所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F?平面B1BCC1, 所以AD⊥B1F.
在矩形B1BCC1中,C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1, 所以∠CFD=∠C1B1F,
所以∠CFD+∠C1FB1=∠C1B1F+∠C1FB1=90°, 所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD=D, 所以B1F⊥平面ADF.
(2) 因为AD⊥平面B1DF,AD=2 . 因为D是BC的中点,所以CD=1. 在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3, 所以B1D==. 因为FD⊥B1D,
所以Rt△CDF∽Rt△BB1D, 所以=, 所以DF=×=,
所以==·AD=××××2 =.
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