答案：若x≠1且x≠3，则x2－4x＋3≠0
12．以下命题：
①以直角三角形的边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③一个平面截圆锥．得到一个圆锥和一个圆台． 其中真命题的个数是________个． 答案：0
13．若圆C以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是________．
解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，则圆心
到准线的距离为2，则圆的半径为标准方程为(x－1)2＋y2＝13.
答案：(x－1)2＋y2＝13
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?6?2
2＋??＝13，所以圆的
?2?
2
12
14. 下列四个命题：①?x∈R，x＋x＋1≥0；②?x∈Q，x
2
2
1
＋x－是有理数；
3
③?α，β∈R，使sin (α＋β)＝sin α＋sin β；④?x，y∈Z，使3x－2y＝10.
所有真命题的序号是________．
π
解析：①②显然正确；对于③，若α＝，β＝0，则sin(α＋
2β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，所以③正确；对于④，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，所以④正确．故填①②③④.
答案：①②③④
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4≥0对于一切x∈R恒成立，命题q：?x∈[1,2]，x2－a≥0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数的取值范围．
解析：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对于一切x∈R恒成立，所以g(x)函数的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，所以－2＜a＜2.
若q为真命题，a≤x2恒成立，即a≤1.由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假.
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??－2＜a＜2，
①若p真q假，则?
??a＞1，
所以1＜a＜2；
??a≤－2或a≥2，
②若p假q真，则?
??a≤1，
所以a≤－2；
综上可知，所求实数a的取值范围是{a|1＜a＜2或a≤－2}．
y2
16．(本小题满分12分)直线l：y＝kx＋1与椭圆C：x＋＝1
2
2
交于A、B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点)，如右图所示．
(1)当k＝－1时，求AB的长； (2)当k变化时，求点P的轨迹方程．
解析：(1)当k＝－1时，
??y＝－x＋1，
联立方程组?22
??2x＋y＝2，
??
解之得?4
y＝??3，1x＝－，
3
或
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??x＝1，???y＝0，
?14?
即A、B的坐标分别为?－，?，(1,0)．
?33?
∴ |AB|＝
?1?2?4?242?1＋?＋?0－?＝. 333????
(2)设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?xy?
则E?，?.
?22?
??y＝kx＋1，
联立方程组?22
?2x＋y＝2，?
整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 2k由此得x1＋x2＝－2，
k＋2
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝
4. k2＋2
2kx＝－2，
k＋2
2
??
由点E是AB的中点，有?4
y＝??k＋2，
消去k得2x2＋y2－2y＝0，这就是点P的轨迹方程．
17．(本小题满分14分)如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、 CD的中点.
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