x2y2
19.(本小题满分14分)已知椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，它的
ab一个顶点为M(0,1)，离心率e＝
(1)求椭圆方程；
(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝3.求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围．
6 . 3
b＝1，??
解析：(1)依题意，得?a－b＝??a2
2
6
，3
??a＝3，解得?
??b＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
3
(2)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t，代入椭圆方程，
得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
－6ktt2－
则x1＋x2＝2，x1·x2＝
3k＋13k2＋1
，
x2
y1－ty2－t由k1＋k2＝3，得＋＝3，①
x1x2
又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，②
2kt2k－3
由①，②得2k＋(t－1)·＝3，化简，得t＝ . 33
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则直线AB的方程为y＝kx＋
2k－32
＝k(x＋)－1， 33
?2?
所以直线AB过定点?－，－1?.
?3?
又由于直线AB和椭圆有两个不同的交点， 则Δ＝36k2t2－12(3k2＋1)(t2－1)＞0，
2k－312
又t＝，解得直线AB的斜率的取值范围是k＜－或k＞0 .
323
20．(本小题满分14分)(2013·福建卷)如图
，在抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心|OC|为半径作圆，设圆C与准线l的交于不同的两点M，N.
(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．
解析：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，
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由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)， 所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝5. 所以|MN|＝2|CO|2－d2＝25－4＝2.
4
?y2??y2y00?20
(2)设C?，y0?，则圆的方程为?x－?＋(y－y0)2＝＋y20， 4416????
即x－x＋y－2y0y＋1＋＝0.
22由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，
2设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则：
2
y20
2
y20
y20
???y??yy＝2＋1.
2
0
1
22y0
2
?y0?2
Δ＝4y0－4?1＋?＝2y20－4>0，2??
由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4， 所以＋1＝4，解得y0＝±6，此时Δ>0， 2
?3??3?
所以圆心C的坐标为?，6?或?，－6?，
?2??2?
从而|CO|2＝
333333，|CO|＝，即圆的半径为. 422
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